Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36102 / 103298
↖ ↑ ↗
← S 71.414928°
W 80.842895°		 ← 97.32 m → S 71.414928°
W 80.840149°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 71.415803°
W 80.842895°		 ← 97.32 m →
9 474 m²		 S 71.415803°
W 80.840149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275440216064453 y=0.788105010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275440216064453 × 217)
    floor (0.275440216064453 × 131072)
    floor (36102.5)     		tx = 36102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788105010986328 × 217)
    floor (0.788105010986328 × 131072)
    floor (103298.5)     		ty = 103298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36102 / 103298 ti = "17/36102/103298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36102/103298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36102 ÷ 217
    36102 ÷ 131072     		x = 0.275436401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103298 ÷ 217
    103298 ÷ 131072     		y = 0.788101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.449127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41097470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.576202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81019320345256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41097470} λ = -1.41097470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81019320345256))-π/2
    2×atan(0.163622521312657)-π/2
    2×0.162185352097773-π/2
    0.324370704195546-1.57079632675     		φ = -1.24642562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41097470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.842895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24642562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.414928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36102 KachelY 103298 -1.41097470 -1.24642562 -80.842895 -71.414928
    Oben rechts KachelX + 1 36103 KachelY 103298 -1.41092677 -1.24642562 -80.840149 -71.414928
    Unten links KachelX 36102 KachelY + 1 103299 -1.41097470 -1.24644090 -80.842895 -71.415803
    Unten rechts KachelX + 1 36103 KachelY + 1 103299 -1.41092677 -1.24644090 -80.840149 -71.415803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24642562--1.24644090) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dl = 97.3488800011018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24642562--1.24644090) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dr = 97.3488800011018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41097470--1.41092677) × cos(-1.24642562) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.318712372508693 × 6371000     		do = 97.3226570549793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41097470--1.41092677) × cos(-1.24644090) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.318697889300909 × 6371000     		du = 97.3182344332496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24642562)-sin(-1.24644090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318712372508693-0.318697889300909)×R²
    abs(-1.41092677--1.41097470)×1.44832077836887e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.44832077836887e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.44832077836887e-05×40589641000000     		ar = 9474.03639462794m²