Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36101 / 51961
↖ ↑ ↗
← S 71.953479°
E 18.308716°		 ← 189.24 m → S 71.953479°
E 18.314209°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
S 71.955181°
E 18.308716°		 ← 189.22 m →
35 805 m²		 S 71.955181°
E 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550865173339844 y=0.792869567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550865173339844 × 216)
    floor (0.550865173339844 × 65536)
    floor (36101.5)     		tx = 36101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792869567871094 × 216)
    floor (0.792869567871094 × 65536)
    floor (51961.5)     		ty = 51961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36101 / 51961 ti = "16/36101/51961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36101/51961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36101 ÷ 216
    36101 ÷ 65536     		x = 0.550857543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51961 ÷ 216
    51961 ÷ 65536     		y = 0.792861938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550857543945312 × 2 - 1) × π
    0.101715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31954737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792861938476562 × 2 - 1) × π
    -0.585723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.84010582881548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31954737} λ = 0.31954737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84010582881548))-π/2
    2×atan(0.158800619536164)-π/2
    2×0.157485601133502-π/2
    0.314971202267003-1.57079632675     		φ = -1.25582512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31954737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.308716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25582512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.953479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36101 KachelY 51961 0.31954737 -1.25582512 18.308716 -71.953479
    Oben rechts KachelX + 1 36102 KachelY 51961 0.31964325 -1.25582512 18.314209 -71.953479
    Unten links KachelX 36101 KachelY + 1 51962 0.31954737 -1.25585482 18.308716 -71.955181
    Unten rechts KachelX + 1 36102 KachelY + 1 51962 0.31964325 -1.25585482 18.314209 -71.955181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25582512--1.25585482) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25582512--1.25585482) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31954737-0.31964325) × cos(-1.25582512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.309789094624031 × 6371000     		do = 189.235126938935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31954737-0.31964325) × cos(-1.25585482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30976085557002 × 6371000     		du = 189.217877070998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25582512)-sin(-1.25585482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309789094624031-0.30976085557002)×R²
    abs(0.31964325-0.31954737)×2.82390540109478e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.82390540109478e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.82390540109478e-05×40589641000000     		ar = 35805.1927173076m²