Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36100 / 39183
↖ ↑ ↗
← S 33.206520°
E 18.303223°		 ← 511.05 m → S 33.206520°
E 18.308716°		 →
↑
511.08 m
↓
↑
511.08 m
↓
S 33.211116°
E 18.303223°		 ← 511.02 m →
261 180 m²		 S 33.211116°
E 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550849914550781 y=0.597892761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550849914550781 × 216)
    floor (0.550849914550781 × 65536)
    floor (36100.5)     		tx = 36100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597892761230469 × 216)
    floor (0.597892761230469 × 65536)
    floor (39183.5)     		ty = 39183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36100 / 39183 ti = "16/36100/39183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36100/39183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36100 ÷ 216
    36100 ÷ 65536     		x = 0.55084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39183 ÷ 216
    39183 ÷ 65536     		y = 0.597885131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597885131835938 × 2 - 1) × π
    -0.195770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.61503042212532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31945150} λ = 0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61503042212532))-π/2
    2×atan(0.540624448114427)-π/2
    2×0.495616605897774-π/2
    0.991233211795547-1.57079632675     		φ = -0.57956311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57956311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.206520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36100 KachelY 39183 0.31945150 -0.57956311 18.303223 -33.206520
    Oben rechts KachelX + 1 36101 KachelY 39183 0.31954737 -0.57956311 18.308716 -33.206520
    Unten links KachelX 36100 KachelY + 1 39184 0.31945150 -0.57964333 18.303223 -33.211116
    Unten rechts KachelX + 1 36101 KachelY + 1 39184 0.31954737 -0.57964333 18.308716 -33.211116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57956311--0.57964333) × R
    8.02199999999642e-05 × 6371000     		dl = 511.081619999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57956311--0.57964333) × R
    8.02199999999642e-05 × 6371000     		dr = 511.081619999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31945150-0.31954737) × cos(-0.57956311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836701996256302 × 6371000     		do = 511.047346447924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31945150-0.31954737) × cos(-0.57964333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836658060403913 × 6371000     		du = 511.02051096662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57956311)-sin(-0.57964333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836701996256302-0.836658060403913)×R²
    abs(0.31954737-0.31945150)×4.39358523895983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39358523895983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39358523895983e-05×40589641000000     		ar = 261180.04829839m²