Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36100 / 37638
↖ ↑ ↗
← S 25.829561°
E 18.303223°		 ← 549.77 m → S 25.829561°
E 18.308716°		 →
↑
549.75 m
↓
↑
549.75 m
↓
S 25.834505°
E 18.303223°		 ← 549.74 m →
302 230 m²		 S 25.834505°
E 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550849914550781 y=0.574317932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550849914550781 × 216)
    floor (0.550849914550781 × 65536)
    floor (36100.5)     		tx = 36100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574317932128906 × 216)
    floor (0.574317932128906 × 65536)
    floor (37638.5)     		ty = 37638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36100 / 37638 ti = "16/36100/37638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36100/37638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36100 ÷ 216
    36100 ÷ 65536     		x = 0.55084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37638 ÷ 216
    37638 ÷ 65536     		y = 0.574310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.14862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.466905402299347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31945150} λ = 0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466905402299347))-π/2
    2×atan(0.626939394632492)-π/2
    2×0.559992720755136-π/2
    1.11998544151027-1.57079632675     		φ = -0.45081089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45081089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.829561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36100 KachelY 37638 0.31945150 -0.45081089 18.303223 -25.829561
    Oben rechts KachelX + 1 36101 KachelY 37638 0.31954737 -0.45081089 18.308716 -25.829561
    Unten links KachelX 36100 KachelY + 1 37639 0.31945150 -0.45089718 18.303223 -25.834505
    Unten rechts KachelX + 1 36101 KachelY + 1 37639 0.31954737 -0.45089718 18.308716 -25.834505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45081089--0.45089718) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dl = 549.753589999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45081089--0.45089718) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dr = 549.753589999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31945150-0.31954737) × cos(-0.45081089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90009409714823 × 6371000     		do = 549.766466387319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31945150-0.31954737) × cos(-0.45089718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900056497627838 × 6371000     		du = 549.743501060106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45081089)-sin(-0.45089718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90009409714823-0.900056497627838)×R²
    abs(0.31954737-0.31945150)×3.7599520392062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7599520392062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7599520392062e-05×40589641000000     		ar = 302229.776110008m²