Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3610 / 2645
↖ ↑ ↗
← N 76.408810°
W100.678711°		 ← 574.14 m → N 76.408810°
W100.656738°		 →
↑
574.22 m
↓
↑
574.22 m
↓
N 76.403646°
W100.678711°		 ← 574.35 m →
329 742 m²		 N 76.403646°
W100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220367431640625 y=0.161468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220367431640625 × 214)
    floor (0.220367431640625 × 16384)
    floor (3610.5)     		tx = 3610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161468505859375 × 214)
    floor (0.161468505859375 × 16384)
    floor (2645.5)     		ty = 2645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3610 / 2645 ti = "14/3610/2645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3610/2645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3610 ÷ 214
    3610 ÷ 16384     		x = 0.2203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2645 ÷ 214
    2645 ÷ 16384     		y = 0.16143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16143798828125 × 2 - 1) × π
    0.6771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12724785753961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75717499} λ = -1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12724785753961))-π/2
    2×atan(8.39173973828745)-π/2
    2×1.45219082433343-π/2
    2.90438164866686-1.57079632675     		φ = 1.33358532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33358532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.408810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3610 KachelY 2645 -1.75717499 1.33358532 -100.678711 76.408810
    Oben rechts KachelX + 1 3611 KachelY 2645 -1.75679150 1.33358532 -100.656738 76.408810
    Unten links KachelX 3610 KachelY + 1 2646 -1.75717499 1.33349519 -100.678711 76.403646
    Unten rechts KachelX + 1 3611 KachelY + 1 2646 -1.75679150 1.33349519 -100.656738 76.403646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33358532-1.33349519) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dl = 574.218230000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33358532-1.33349519) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dr = 574.218230000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75717499--1.75679150) × cos(1.33358532) × R
    0.000383489999999931 × 0.234992650445137 × 6371000     		do = 574.137519108754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75717499--1.75679150) × cos(1.33349519) × R
    0.000383489999999931 × 0.235080255593427 × 6371000     		du = 574.351557302737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33358532)-sin(1.33349519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234992650445137-0.235080255593427)×R²
    abs(-1.75679150--1.75717499)×8.76051482902318e-05×R²
    0.000383489999999931×8.76051482902318e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.76051482902318e-05×40589641000000     		ar = 329741.682538803m²