Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36097 / 39381
↖ ↑ ↗
← S 34.111804°
E 18.286743°		 ← 505.70 m → S 34.111804°
E 18.292236°		 →
↑
505.73 m
↓
↑
505.73 m
↓
S 34.116353°
E 18.286743°		 ← 505.67 m →
255 740 m²		 S 34.116353°
E 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550804138183594 y=0.600914001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550804138183594 × 216)
    floor (0.550804138183594 × 65536)
    floor (36097.5)     		tx = 36097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600914001464844 × 216)
    floor (0.600914001464844 × 65536)
    floor (39381.5)     		ty = 39381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36097 / 39381 ti = "16/36097/39381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36097/39381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36097 ÷ 216
    36097 ÷ 65536     		x = 0.550796508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39381 ÷ 216
    39381 ÷ 65536     		y = 0.600906372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550796508789062 × 2 - 1) × π
    0.101593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31916388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600906372070312 × 2 - 1) × π
    -0.201812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.634013434374863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31916388} λ = 0.31916388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634013434374863))-π/2
    2×atan(0.530458562434929)-π/2
    2×0.48771651175921-π/2
    0.97543302351842-1.57079632675     		φ = -0.59536330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31916388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59536330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.111804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36097 KachelY 39381 0.31916388 -0.59536330 18.286743 -34.111804
    Oben rechts KachelX + 1 36098 KachelY 39381 0.31925975 -0.59536330 18.292236 -34.111804
    Unten links KachelX 36097 KachelY + 1 39382 0.31916388 -0.59544268 18.286743 -34.116353
    Unten rechts KachelX + 1 36098 KachelY + 1 39382 0.31925975 -0.59544268 18.292236 -34.116353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59536330--0.59544268) × R
    7.93799999999623e-05 × 6371000     		dl = 505.72997999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59536330--0.59544268) × R
    7.93799999999623e-05 × 6371000     		dr = 505.72997999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31916388-0.31925975) × cos(-0.59536330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827944811361188 × 6371000     		do = 505.69856501436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31916388-0.31925975) × cos(-0.59544268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827900291687952 × 6371000     		du = 505.671372942423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59536330)-sin(-0.59544268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827944811361188-0.827900291687952)×R²
    abs(0.31925975-0.31916388)×4.45196732358211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45196732358211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45196732358211e-05×40589641000000     		ar = 255740.049382187m²