Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36097 / 37649
↖ ↑ ↗
← S 25.883937°
E 18.286743°		 ← 549.51 m → S 25.883937°
E 18.292236°		 →
↑
549.50 m
↓
↑
549.50 m
↓
S 25.888879°
E 18.286743°		 ← 549.49 m →
301 951 m²		 S 25.888879°
E 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550804138183594 y=0.574485778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550804138183594 × 216)
    floor (0.550804138183594 × 65536)
    floor (36097.5)     		tx = 36097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574485778808594 × 216)
    floor (0.574485778808594 × 65536)
    floor (37649.5)     		ty = 37649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36097 / 37649 ti = "16/36097/37649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36097/37649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36097 ÷ 216
    36097 ÷ 65536     		x = 0.550796508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37649 ÷ 216
    37649 ÷ 65536     		y = 0.574478149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550796508789062 × 2 - 1) × π
    0.101593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31916388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574478149414062 × 2 - 1) × π
    -0.148956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467960014090988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31916388} λ = 0.31916388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467960014090988))-π/2
    2×atan(0.626278565474628)-π/2
    2×0.559518204926996-π/2
    1.11903640985399-1.57079632675     		φ = -0.45175992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31916388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45175992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.883937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36097 KachelY 37649 0.31916388 -0.45175992 18.286743 -25.883937
    Oben rechts KachelX + 1 36098 KachelY 37649 0.31925975 -0.45175992 18.292236 -25.883937
    Unten links KachelX 36097 KachelY + 1 37650 0.31916388 -0.45184617 18.286743 -25.888879
    Unten rechts KachelX + 1 36098 KachelY + 1 37650 0.31925975 -0.45184617 18.292236 -25.888879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45175992--0.45184617) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dl = 549.498750000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45175992--0.45184617) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dr = 549.498750000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31916388-0.31925975) × cos(-0.45175992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89968020371972 × 6371000     		do = 549.513665343102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31916388-0.31925975) × cos(-0.45184617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899642547972574 × 6371000     		du = 549.490665673274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45175992)-sin(-0.45184617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89968020371972-0.899642547972574)×R²
    abs(0.31925975-0.31916388)×3.76557471464256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76557471464256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76557471464256e-05×40589641000000     		ar = 301950.753256322m²