Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36096 / 39167
↖ ↑ ↗
← S 33.132951°
E 18.281250°		 ← 511.53 m → S 33.132951°
E 18.286743°		 →
↑
511.46 m
↓
↑
511.46 m
↓
S 33.137551°
E 18.281250°		 ← 511.50 m →
261 622 m²		 S 33.137551°
E 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550788879394531 y=0.597648620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550788879394531 × 216)
    floor (0.550788879394531 × 65536)
    floor (36096.5)     		tx = 36096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597648620605469 × 216)
    floor (0.597648620605469 × 65536)
    floor (39167.5)     		ty = 39167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36096 / 39167 ti = "16/36096/39167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36096/39167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36096 ÷ 216
    36096 ÷ 65536     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39167 ÷ 216
    39167 ÷ 65536     		y = 0.597640991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.195281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.613496441337479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613496441337479))-π/2
    2×atan(0.541454392027536)-π/2
    2×0.496258617751601-π/2
    0.992517235503202-1.57079632675     		φ = -0.57827909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57827909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.132951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36096 KachelY 39167 0.31906800 -0.57827909 18.281250 -33.132951
    Oben rechts KachelX + 1 36097 KachelY 39167 0.31916388 -0.57827909 18.286743 -33.132951
    Unten links KachelX 36096 KachelY + 1 39168 0.31906800 -0.57835937 18.281250 -33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 36097 KachelY + 1 39168 0.31916388 -0.57835937 18.286743 -33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57827909--0.57835937) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dl = 511.463880000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57827909--0.57835937) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dr = 511.463880000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31916388) × cos(-0.57827909) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837404510717924 × 6371000     		do = 511.529784730681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31916388) × cos(-0.57835937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 511.502979081057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57827909)-sin(-0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837404510717924-0.837360628284139)×R²
    abs(0.31916388-0.31906800)×4.38824337851695e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38824337851695e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38824337851695e-05×40589641000000     		ar = 261622.153513522m²