Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36096 / 104703
↖ ↑ ↗
← S 72.606299°
W 80.859375°		 ← 91.28 m → S 72.606299°
W 80.856629°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
S 72.607120°
W 80.859375°		 ← 91.28 m →
8 334 m²		 S 72.607120°
W 80.856629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275394439697266 y=0.798824310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275394439697266 × 217)
    floor (0.275394439697266 × 131072)
    floor (36096.5)     		tx = 36096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798824310302734 × 217)
    floor (0.798824310302734 × 131072)
    floor (104703.5)     		ty = 104703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36096 / 104703 ti = "17/36096/104703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36096/104703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36096 ÷ 217
    36096 ÷ 131072     		x = 0.275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104703 ÷ 217
    104703 ÷ 131072     		y = 0.798820495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41126232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798820495605469 × 2 - 1) × π
    -0.597640991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.87754454741874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41126232} λ = -1.41126232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87754454741874))-π/2
    2×atan(0.152965243904422)-π/2
    2×0.151788672582773-π/2
    0.303577345165547-1.57079632675     		φ = -1.26721898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41126232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26721898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.606299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36096 KachelY 104703 -1.41126232 -1.26721898 -80.859375 -72.606299
    Oben rechts KachelX + 1 36097 KachelY 104703 -1.41121439 -1.26721898 -80.856629 -72.606299
    Unten links KachelX 36096 KachelY + 1 104704 -1.41126232 -1.26723331 -80.859375 -72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 36097 KachelY + 1 104704 -1.41121439 -1.26723331 -80.856629 -72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26721898--1.26723331) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26721898--1.26723331) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41126232--1.41121439) × cos(-1.26721898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.298935878354804 × 6371000     		do = 91.2836666543119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41126232--1.41121439) × cos(-1.26723331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 91.2794909001128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26721898)-sin(-1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298935878354804-0.298922203589153)×R²
    abs(-1.41121439--1.41126232)×1.36747656515057e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36747656515057e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36747656515057e-05×40589641000000     		ar = 8333.68226724069m²