Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36095 / 38654
↖ ↑ ↗
← S 30.741836°
E 18.275757°		 ← 524.96 m → S 30.741836°
E 18.281250°		 →
↑
524.97 m
↓
↑
524.97 m
↓
S 30.746557°
E 18.275757°		 ← 524.93 m →
275 581 m²		 S 30.746557°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550773620605469 y=0.589820861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550773620605469 × 216)
    floor (0.550773620605469 × 65536)
    floor (36095.5)     		tx = 36095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589820861816406 × 216)
    floor (0.589820861816406 × 65536)
    floor (38654.5)     		ty = 38654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36095 / 38654 ti = "16/36095/38654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36095/38654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36095 ÷ 216
    36095 ÷ 65536     		x = 0.550765991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38654 ÷ 216
    38654 ÷ 65536     		y = 0.589813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550765991210938 × 2 - 1) × π
    0.101531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31897213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.17962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564313182327301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31897213} λ = 0.31897213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564313182327301))-π/2
    2×atan(0.568750640634489)-π/2
    2×0.517125037712194-π/2
    1.03425007542439-1.57079632675     		φ = -0.53654625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31897213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.275757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53654625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.741836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36095 KachelY 38654 0.31897213 -0.53654625 18.275757 -30.741836
    Oben rechts KachelX + 1 36096 KachelY 38654 0.31906800 -0.53654625 18.281250 -30.741836
    Unten links KachelX 36095 KachelY + 1 38655 0.31897213 -0.53662865 18.275757 -30.746557
    Unten rechts KachelX + 1 36096 KachelY + 1 38655 0.31906800 -0.53662865 18.281250 -30.746557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53654625--0.53662865) × R
    8.2400000000038e-05 × 6371000     		dl = 524.970400000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53654625--0.53662865) × R
    8.2400000000038e-05 × 6371000     		dr = 524.970400000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31897213-0.31906800) × cos(-0.53654625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859479259478455 × 6371000     		do = 524.959420258086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31897213-0.31906800) × cos(-0.53662865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859437136101604 × 6371000     		du = 524.933691814674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53654625)-sin(-0.53662865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859479259478455-0.859437136101604)×R²
    abs(0.31906800-0.31897213)×4.21233768511664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21233768511664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21233768511664e-05×40589641000000     		ar = 275581.403657041m²