Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36092 / 37628
↖ ↑ ↗
← S 25.780107°
E 18.259277°		 ← 550 m → S 25.780107°
E 18.264770°		 →
↑
550.01 m
↓
↑
550.01 m
↓
S 25.785053°
E 18.259277°		 ← 549.97 m →
302 496 m²		 S 25.785053°
E 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550727844238281 y=0.574165344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550727844238281 × 216)
    floor (0.550727844238281 × 65536)
    floor (36092.5)     		tx = 36092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574165344238281 × 216)
    floor (0.574165344238281 × 65536)
    floor (37628.5)     		ty = 37628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36092 / 37628 ti = "16/36092/37628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36092/37628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36092 ÷ 216
    36092 ÷ 65536     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37628 ÷ 216
    37628 ÷ 65536     		y = 0.57415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465946664306946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465946664306946))-π/2
    2×atan(0.627540753475782)-π/2
    2×0.560424288036797-π/2
    1.12084857607359-1.57079632675     		φ = -0.44994775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44994775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.780107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36092 KachelY 37628 0.31868451 -0.44994775 18.259277 -25.780107
    Oben rechts KachelX + 1 36093 KachelY 37628 0.31878038 -0.44994775 18.264770 -25.780107
    Unten links KachelX 36092 KachelY + 1 37629 0.31868451 -0.45003408 18.259277 -25.785053
    Unten rechts KachelX + 1 36093 KachelY + 1 37629 0.31878038 -0.45003408 18.264770 -25.785053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44994775--0.45003408) × R
    8.63300000000233e-05 × 6371000     		dl = 550.008430000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44994775--0.45003408) × R
    8.63300000000233e-05 × 6371000     		dr = 550.008430000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31878038) × cos(-0.44994775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900469828072685 × 6371000     		do = 549.995958240787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31878038) × cos(-0.45003408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900432278204367 × 6371000     		du = 549.973023240453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44994775)-sin(-0.45003408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900469828072685-0.900432278204367)×R²
    abs(0.31878038-0.31868451)×3.75498683187203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75498683187203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75498683187203e-05×40589641000000     		ar = 302496.106464556m²