Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36091 / 37651
↖ ↑ ↗
← S 25.893820°
E 18.253784°		 ← 549.52 m → S 25.893820°
E 18.259277°		 →
↑
549.50 m
↓
↑
549.50 m
↓
S 25.898762°
E 18.253784°		 ← 549.50 m →
301 957 m²		 S 25.898762°
E 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550712585449219 y=0.574516296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550712585449219 × 216)
    floor (0.550712585449219 × 65536)
    floor (36091.5)     		tx = 36091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574516296386719 × 216)
    floor (0.574516296386719 × 65536)
    floor (37651.5)     		ty = 37651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36091 / 37651 ti = "16/36091/37651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36091/37651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36091 ÷ 216
    36091 ÷ 65536     		x = 0.550704956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37651 ÷ 216
    37651 ÷ 65536     		y = 0.574508666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550704956054688 × 2 - 1) × π
    0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574508666992188 × 2 - 1) × π
    -0.149017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.468151761689468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31858863} λ = 0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468151761689468))-π/2
    2×atan(0.626158489576219)-π/2
    2×0.559431952778083-π/2
    1.11886390555617-1.57079632675     		φ = -0.45193242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45193242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.893820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36091 KachelY 37651 0.31858863 -0.45193242 18.253784 -25.893820
    Oben rechts KachelX + 1 36092 KachelY 37651 0.31868451 -0.45193242 18.259277 -25.893820
    Unten links KachelX 36091 KachelY + 1 37652 0.31858863 -0.45201867 18.253784 -25.898762
    Unten rechts KachelX + 1 36092 KachelY + 1 37652 0.31868451 -0.45201867 18.259277 -25.898762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45193242--0.45201867) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dl = 549.498750000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45193242--0.45201867) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dr = 549.498750000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31858863-0.31868451) × cos(-0.45193242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89960488553293 × 6371000     		do = 549.524975742979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31858863-0.31868451) × cos(-0.45201867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89956721640107 × 6371000     		du = 549.501965498032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45193242)-sin(-0.45201867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89960488553293-0.89956721640107)×R²
    abs(0.31868451-0.31858863)×3.76691318604294e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76691318604294e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76691318604294e-05×40589641000000     		ar = 301956.965401361m²