Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36089 / 37622
↖ ↑ ↗
← S 25.750425°
E 18.242798°		 ← 550.13 m → S 25.750425°
E 18.248291°		 →
↑
550.14 m
↓
↑
550.14 m
↓
S 25.755372°
E 18.242798°		 ← 550.11 m →
302 642 m²		 S 25.755372°
E 18.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550682067871094 y=0.574073791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550682067871094 × 216)
    floor (0.550682067871094 × 65536)
    floor (36089.5)     		tx = 36089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574073791503906 × 216)
    floor (0.574073791503906 × 65536)
    floor (37622.5)     		ty = 37622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36089 / 37622 ti = "16/36089/37622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36089/37622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36089 ÷ 216
    36089 ÷ 65536     		x = 0.550674438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37622 ÷ 216
    37622 ÷ 65536     		y = 0.574066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550674438476562 × 2 - 1) × π
    0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.14813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465371421511505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31839689} λ = 0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465371421511505))-π/2
    2×atan(0.627901845620934)-π/2
    2×0.560683314816469-π/2
    1.12136662963294-1.57079632675     		φ = -0.44942970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44942970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.750425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36089 KachelY 37622 0.31839689 -0.44942970 18.242798 -25.750425
    Oben rechts KachelX + 1 36090 KachelY 37622 0.31849276 -0.44942970 18.248291 -25.750425
    Unten links KachelX 36089 KachelY + 1 37623 0.31839689 -0.44951605 18.242798 -25.755372
    Unten rechts KachelX + 1 36090 KachelY + 1 37623 0.31849276 -0.44951605 18.248291 -25.755372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44942970--0.44951605) × R
    8.63500000000128e-05 × 6371000     		dl = 550.135850000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44942970--0.44951605) × R
    8.63500000000128e-05 × 6371000     		dr = 550.135850000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31839689-0.31849276) × cos(-0.44942970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900695016751689 × 6371000     		do = 550.133500731865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31839689-0.31849276) × cos(-0.44951605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900657498468917 × 6371000     		du = 550.110585023596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44942970)-sin(-0.44951605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900695016751689-0.900657498468917)×R²
    abs(0.31849276-0.31839689)×3.75182827724307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75182827724307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75182827724307e-05×40589641000000     		ar = 302641.857850464m²