Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36088 / 37782
↖ ↑ ↗
← S 26.539394°
E 18.237304°		 ← 546.48 m → S 26.539394°
E 18.242798°		 →
↑
546.44 m
↓
↑
546.44 m
↓
S 26.544308°
E 18.237304°		 ← 546.46 m →
298 615 m²		 S 26.544308°
E 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550666809082031 y=0.576515197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550666809082031 × 216)
    floor (0.550666809082031 × 65536)
    floor (36088.5)     		tx = 36088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576515197753906 × 216)
    floor (0.576515197753906 × 65536)
    floor (37782.5)     		ty = 37782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36088 / 37782 ti = "16/36088/37782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36088/37782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36088 ÷ 216
    36088 ÷ 65536     		x = 0.5506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37782 ÷ 216
    37782 ÷ 65536     		y = 0.576507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5506591796875 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.480711229389923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31830101} λ = 0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480711229389923))-π/2
    2×atan(0.618343451339732)-π/2
    2×0.553798257140365-π/2
    1.10759651428073-1.57079632675     		φ = -0.46319981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46319981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.539394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36088 KachelY 37782 0.31830101 -0.46319981 18.237304 -26.539394
    Oben rechts KachelX + 1 36089 KachelY 37782 0.31839689 -0.46319981 18.242798 -26.539394
    Unten links KachelX 36088 KachelY + 1 37783 0.31830101 -0.46328558 18.237304 -26.544308
    Unten rechts KachelX + 1 36089 KachelY + 1 37783 0.31839689 -0.46328558 18.242798 -26.544308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46319981--0.46328558) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dl = 546.440669999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46319981--0.46328558) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dr = 546.440669999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31830101-0.31839689) × cos(-0.46319981) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		do = 546.48444880872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31830101-0.31839689) × cos(-0.46328558) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894589036673457 × 6371000     		du = 546.461037043714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46319981)-sin(-0.46328558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894627363117402-0.894589036673457)×R²
    abs(0.31839689-0.31830101)×3.83264439448583e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83264439448583e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83264439448583e-05×40589641000000     		ar = 298614.931964388m²