Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36088 / 37624
↖ ↑ ↗
← S 25.760320°
E 18.237304°		 ← 550.15 m → S 25.760320°
E 18.242798°		 →
↑
550.07 m
↓
↑
550.07 m
↓
S 25.765267°
E 18.237304°		 ← 550.12 m →
302 613 m²		 S 25.765267°
E 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550666809082031 y=0.574104309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550666809082031 × 216)
    floor (0.550666809082031 × 65536)
    floor (36088.5)     		tx = 36088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574104309082031 × 216)
    floor (0.574104309082031 × 65536)
    floor (37624.5)     		ty = 37624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36088 / 37624 ti = "16/36088/37624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36088/37624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36088 ÷ 216
    36088 ÷ 65536     		x = 0.5506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37624 ÷ 216
    37624 ÷ 65536     		y = 0.5740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5506591796875 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.465563169109985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31830101} λ = 0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465563169109985))-π/2
    2×atan(0.627781458492295)-π/2
    2×0.560596965360293-π/2
    1.12119393072059-1.57079632675     		φ = -0.44960240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44960240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.760320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36088 KachelY 37624 0.31830101 -0.44960240 18.237304 -25.760320
    Oben rechts KachelX + 1 36089 KachelY 37624 0.31839689 -0.44960240 18.242798 -25.760320
    Unten links KachelX 36088 KachelY + 1 37625 0.31830101 -0.44968874 18.237304 -25.765267
    Unten rechts KachelX + 1 36089 KachelY + 1 37625 0.31839689 -0.44968874 18.242798 -25.765267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44960240--0.44968874) × R
    8.63399999999626e-05 × 6371000     		dl = 550.072139999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44960240--0.44968874) × R
    8.63399999999626e-05 × 6371000     		dr = 550.072139999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31830101-0.31839689) × cos(-0.44960240) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900619973470552 × 6371000     		do = 550.145043712005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31830101-0.31839689) × cos(-0.44968874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900582446103726 × 6371000     		du = 550.122120064439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44960240)-sin(-0.44968874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900619973470552-0.900582446103726)×R²
    abs(0.31839689-0.31830101)×3.75273668256071e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75273668256071e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75273668256071e-05×40589641000000     		ar = 302613.156863167m²