Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36087 / 47369
↖ ↑ ↗
← S 62.290920°
E 18.231812°		 ← 284.01 m → S 62.290920°
E 18.237304°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
S 62.293474°
E 18.231812°		 ← 283.98 m →
80 660 m²		 S 62.293474°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550651550292969 y=0.722801208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550651550292969 × 216)
    floor (0.550651550292969 × 65536)
    floor (36087.5)     		tx = 36087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722801208496094 × 216)
    floor (0.722801208496094 × 65536)
    floor (47369.5)     		ty = 47369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36087 / 47369 ti = "16/36087/47369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36087/47369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36087 ÷ 216
    36087 ÷ 65536     		x = 0.550643920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47369 ÷ 216
    47369 ÷ 65536     		y = 0.722793579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550643920898438 × 2 - 1) × π
    0.101287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31820514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722793579101562 × 2 - 1) × π
    -0.445587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39985334270488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31820514} λ = 0.31820514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39985334270488))-π/2
    2×atan(0.246633131837401)-π/2
    2×0.241807344323561-π/2
    0.483614688647121-1.57079632675     		φ = -1.08718164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31820514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.231812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08718164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.290920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36087 KachelY 47369 0.31820514 -1.08718164 18.231812 -62.290920
    Oben rechts KachelX + 1 36088 KachelY 47369 0.31830101 -1.08718164 18.237304 -62.290920
    Unten links KachelX 36087 KachelY + 1 47370 0.31820514 -1.08722622 18.231812 -62.293474
    Unten rechts KachelX + 1 36088 KachelY + 1 47370 0.31830101 -1.08722622 18.237304 -62.293474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08718164--1.08722622) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dl = 284.01917999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08718164--1.08722622) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dr = 284.01917999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31820514-0.31830101) × cos(-1.08718164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464982360602987 × 6371000     		do = 284.005539122028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31820514-0.31830101) × cos(-1.08722622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464942892577822 × 6371000     		du = 283.981432534951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08718164)-sin(-1.08722622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464982360602987-0.464942892577822)×R²
    abs(0.31830101-0.31820514)×3.94680251651902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94680251651902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94680251651902e-05×40589641000000     		ar = 80659.5969837936m²