Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36086 / 37660
↖ ↑ ↗
← S 25.938287°
E 18.226319°		 ← 549.26 m → S 25.938287°
E 18.231812°		 →
↑
549.31 m
↓
↑
549.31 m
↓
S 25.943227°
E 18.226319°		 ← 549.24 m →
301 707 m²		 S 25.943227°
E 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550636291503906 y=0.574653625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550636291503906 × 216)
    floor (0.550636291503906 × 65536)
    floor (36086.5)     		tx = 36086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574653625488281 × 216)
    floor (0.574653625488281 × 65536)
    floor (37660.5)     		ty = 37660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36086 / 37660 ti = "16/36086/37660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36086/37660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36086 ÷ 216
    36086 ÷ 65536     		x = 0.550628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37660 ÷ 216
    37660 ÷ 65536     		y = 0.57464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550628662109375 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.469014625882629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31810927} λ = 0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.469014625882629))-π/2
    2×atan(0.625618432867625)-π/2
    2×0.559043907511022-π/2
    1.11808781502204-1.57079632675     		φ = -0.45270851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45270851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.938287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36086 KachelY 37660 0.31810927 -0.45270851 18.226319 -25.938287
    Oben rechts KachelX + 1 36087 KachelY 37660 0.31820514 -0.45270851 18.231812 -25.938287
    Unten links KachelX 36086 KachelY + 1 37661 0.31810927 -0.45279473 18.226319 -25.943227
    Unten rechts KachelX + 1 36087 KachelY + 1 37661 0.31820514 -0.45279473 18.231812 -25.943227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45270851--0.45279473) × R
    8.62199999999702e-05 × 6371000     		dl = 549.30761999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45270851--0.45279473) × R
    8.62199999999702e-05 × 6371000     		dr = 549.30761999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31810927-0.31820514) × cos(-0.45270851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899265692444473 × 6371000     		do = 549.260486925653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31810927-0.31820514) × cos(-0.45279473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899227976232096 × 6371000     		du = 549.237450324403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45270851)-sin(-0.45279473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899265692444473-0.899227976232096)×R²
    abs(0.31820514-0.31810927)×3.77162123770258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77162123770258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77162123770258e-05×40589641000000     		ar = 301706.643929539m²