Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36086 / 37607
↖ ↑ ↗
← S 25.676187°
E 18.226319°		 ← 550.48 m → S 25.676187°
E 18.231812°		 →
↑
550.45 m
↓
↑
550.45 m
↓
S 25.681137°
E 18.226319°		 ← 550.45 m →
303 006 m²		 S 25.681137°
E 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550636291503906 y=0.573844909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550636291503906 × 216)
    floor (0.550636291503906 × 65536)
    floor (36086.5)     		tx = 36086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573844909667969 × 216)
    floor (0.573844909667969 × 65536)
    floor (37607.5)     		ty = 37607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36086 / 37607 ti = "16/36086/37607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36086/37607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36086 ÷ 216
    36086 ÷ 65536     		x = 0.550628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37607 ÷ 216
    37607 ÷ 65536     		y = 0.573837280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550628662109375 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.147674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.463933314522903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31810927} λ = 0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463933314522903))-π/2
    2×atan(0.628805485262781)-π/2
    2×0.561331164898785-π/2
    1.12266232979757-1.57079632675     		φ = -0.44813400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44813400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.676187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36086 KachelY 37607 0.31810927 -0.44813400 18.226319 -25.676187
    Oben rechts KachelX + 1 36087 KachelY 37607 0.31820514 -0.44813400 18.231812 -25.676187
    Unten links KachelX 36086 KachelY + 1 37608 0.31810927 -0.44822040 18.226319 -25.681137
    Unten rechts KachelX + 1 36087 KachelY + 1 37608 0.31820514 -0.44822040 18.231812 -25.681137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44813400--0.44822040) × R
    8.6400000000042e-05 × 6371000     		dl = 550.454400000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44813400--0.44822040) × R
    8.6400000000042e-05 × 6371000     		dr = 550.454400000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31810927-0.31820514) × cos(-0.44813400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901257179910169 × 6371000     		do = 550.476863113809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31810927-0.31820514) × cos(-0.44822040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90121974076173 × 6371000     		du = 550.453995739823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44813400)-sin(-0.44822040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901257179910169-0.90121974076173)×R²
    abs(0.31820514-0.31810927)×3.74391484386782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74391484386782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74391484386782e-05×40589641000000     		ar = 303006.117864435m²