Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36085 / 37608
↖ ↑ ↗
← S 25.681137°
E 18.220825°		 ← 550.51 m → S 25.681137°
E 18.226319°		 →
↑
550.45 m
↓
↑
550.45 m
↓
S 25.686088°
E 18.220825°		 ← 550.49 m →
303 025 m²		 S 25.686088°
E 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550621032714844 y=0.573860168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550621032714844 × 216)
    floor (0.550621032714844 × 65536)
    floor (36085.5)     		tx = 36085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573860168457031 × 216)
    floor (0.573860168457031 × 65536)
    floor (37608.5)     		ty = 37608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36085 / 37608 ti = "16/36085/37608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36085/37608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36085 ÷ 216
    36085 ÷ 65536     		x = 0.550613403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37608 ÷ 216
    37608 ÷ 65536     		y = 0.5738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550613403320312 × 2 - 1) × π
    0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31801339} λ = 0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464029188322144))-π/2
    2×atan(0.628745202181756)-π/2
    2×0.561287962321148-π/2
    1.1225759246423-1.57079632675     		φ = -0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36085 KachelY 37608 0.31801339 -0.44822040 18.220825 -25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 36086 KachelY 37608 0.31810927 -0.44822040 18.226319 -25.681137
    Unten links KachelX 36085 KachelY + 1 37609 0.31801339 -0.44830680 18.220825 -25.686088
    Unten rechts KachelX + 1 36086 KachelY + 1 37609 0.31810927 -0.44830680 18.226319 -25.686088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44822040--0.44830680) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dl = 550.454399999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44822040--0.44830680) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dr = 550.454399999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31801339-0.31810927) × cos(-0.44822040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 550.511412449477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31801339-0.31810927) × cos(-0.44830680) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901182294885722 × 6371000     		du = 550.488538580698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44822040)-sin(-0.44830680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901182294885722)×R²
    abs(0.31810927-0.31801339)×3.74458760079577e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.74458760079577e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74458760079577e-05×40589641000000     		ar = 303025.133910674m²