Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36082 / 39390
↖ ↑ ↗
← S 34.152727°
E 18.204346°		 ← 505.45 m → S 34.152727°
E 18.209839°		 →
↑
505.48 m
↓
↑
505.48 m
↓
S 34.157273°
E 18.204346°		 ← 505.43 m →
255 487 m²		 S 34.157273°
E 18.209839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550575256347656 y=0.601051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550575256347656 × 216)
    floor (0.550575256347656 × 65536)
    floor (36082.5)     		tx = 36082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601051330566406 × 216)
    floor (0.601051330566406 × 65536)
    floor (39390.5)     		ty = 39390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36082 / 39390 ti = "16/36082/39390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36082/39390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36082 ÷ 216
    36082 ÷ 65536     		x = 0.550567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39390 ÷ 216
    39390 ÷ 65536     		y = 0.601043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550567626953125 × 2 - 1) × π
    0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601043701171875 × 2 - 1) × π
    -0.20208740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.634876298568024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31772577} λ = 0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634876298568024))-π/2
    2×atan(0.530001046151044)-π/2
    2×0.487359396236075-π/2
    0.974718792472151-1.57079632675     		φ = -0.59607753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59607753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.152727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36082 KachelY 39390 0.31772577 -0.59607753 18.204346 -34.152727
    Oben rechts KachelX + 1 36083 KachelY 39390 0.31782164 -0.59607753 18.209839 -34.152727
    Unten links KachelX 36082 KachelY + 1 39391 0.31772577 -0.59615687 18.204346 -34.157273
    Unten rechts KachelX + 1 36083 KachelY + 1 39391 0.31782164 -0.59615687 18.209839 -34.157273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59607753--0.59615687) × R
    7.93399999999833e-05 × 6371000     		dl = 505.475139999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59607753--0.59615687) × R
    7.93399999999833e-05 × 6371000     		dr = 505.475139999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31772577-0.31782164) × cos(-0.59607753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827544053188714 × 6371000     		do = 505.453786823885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31772577-0.31782164) × cos(-0.59615687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827499509045949 × 6371000     		du = 505.426579806259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59607753)-sin(-0.59615687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827544053188714-0.827499509045949)×R²
    abs(0.31782164-0.31772577)×4.45441427654458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45441427654458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45441427654458e-05×40589641000000     		ar = 255487.44755689m²