Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36081 / 37610
↖ ↑ ↗
← S 25.691038°
E 18.198853°		 ← 550.41 m → S 25.691038°
E 18.204346°		 →
↑
550.45 m
↓
↑
550.45 m
↓
S 25.695988°
E 18.198853°		 ← 550.39 m →
302 968 m²		 S 25.695988°
E 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550559997558594 y=0.573890686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550559997558594 × 216)
    floor (0.550559997558594 × 65536)
    floor (36081.5)     		tx = 36081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573890686035156 × 216)
    floor (0.573890686035156 × 65536)
    floor (37610.5)     		ty = 37610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36081 / 37610 ti = "16/36081/37610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36081/37610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36081 ÷ 216
    36081 ÷ 65536     		x = 0.550552368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37610 ÷ 216
    37610 ÷ 65536     		y = 0.573883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550552368164062 × 2 - 1) × π
    0.101104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31762990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.14776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464220935920624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31762990} λ = 0.31762990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464220935920624))-π/2
    2×atan(0.628624653357025)-π/2
    2×0.561201562550967-π/2
    1.12240312510193-1.57079632675     		φ = -0.44839320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31762990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.198853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44839320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.691038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36081 KachelY 37610 0.31762990 -0.44839320 18.198853 -25.691038
    Oben rechts KachelX + 1 36082 KachelY 37610 0.31772577 -0.44839320 18.204346 -25.691038
    Unten links KachelX 36081 KachelY + 1 37611 0.31762990 -0.44847960 18.198853 -25.695988
    Unten rechts KachelX + 1 36082 KachelY + 1 37611 0.31772577 -0.44847960 18.204346 -25.695988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44839320--0.44847960) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dl = 550.454399999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44839320--0.44847960) × R
    8.63999999999865e-05 × 6371000     		dr = 550.454399999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31762990-0.31772577) × cos(-0.44839320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901144842282425 × 6371000     		do = 550.408248664672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31762990-0.31772577) × cos(-0.44847960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901107382952117 × 6371000     		du = 550.385368963847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44839320)-sin(-0.44847960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901144842282425-0.901107382952117)×R²
    abs(0.31772577-0.31762990)×3.74593303079651e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74593303079651e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74593303079651e-05×40589641000000     		ar = 302968.345346141m²