Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36081 / 104949
↖ ↑ ↗
← S 72.807146°
W 80.900574°		 ← 90.28 m → S 72.807146°
W 80.897827°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
S 72.807958°
W 80.900574°		 ← 90.28 m →
8 150 m²		 S 72.807958°
W 80.897827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275279998779297 y=0.800701141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275279998779297 × 217)
    floor (0.275279998779297 × 131072)
    floor (36081.5)     		tx = 36081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800701141357422 × 217)
    floor (0.800701141357422 × 131072)
    floor (104949.5)     		ty = 104949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36081 / 104949 ti = "17/36081/104949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36081/104949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36081 ÷ 217
    36081 ÷ 131072     		x = 0.275276184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104949 ÷ 217
    104949 ÷ 131072     		y = 0.800697326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275276184082031 × 2 - 1) × π
    -0.449447631835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41198138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800697326660156 × 2 - 1) × π
    -0.601394653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.88933702472527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41198138} λ = -1.41198138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88933702472527))-π/2
    2×atan(0.151171998918441)-π/2
    2×0.150035959283528-π/2
    0.300071918567056-1.57079632675     		φ = -1.27072441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41198138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.900574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27072441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.807146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36081 KachelY 104949 -1.41198138 -1.27072441 -80.900574 -72.807146
    Oben rechts KachelX + 1 36082 KachelY 104949 -1.41193344 -1.27072441 -80.897827 -72.807146
    Unten links KachelX 36081 KachelY + 1 104950 -1.41198138 -1.27073858 -80.900574 -72.807958
    Unten rechts KachelX + 1 36082 KachelY + 1 104950 -1.41193344 -1.27073858 -80.897827 -72.807958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27072441--1.27073858) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dl = 90.2770700002264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27072441--1.27073858) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dr = 90.2770700002264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41198138--1.41193344) × cos(-1.27072441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295588910635407 × 6371000     		do = 90.2804617665539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41198138--1.41193344) × cos(-1.27073858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295575373788869 × 6371000     		du = 90.2763272651828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27072441)-sin(-1.27073858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295588910635407-0.295575373788869)×R²
    abs(-1.41193344--1.41198138)×1.3536846537876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3536846537876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3536846537876e-05×40589641000000     		ar = 8150.0689413373m²