Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36080 / 52017
↖ ↑ ↗
← S 72.048533°
E 18.193359°		 ← 188.27 m → S 72.048533°
E 18.198853°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
S 72.050226°
E 18.193359°		 ← 188.25 m →
35 443 m²		 S 72.050226°
E 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550544738769531 y=0.793724060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550544738769531 × 216)
    floor (0.550544738769531 × 65536)
    floor (36080.5)     		tx = 36080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793724060058594 × 216)
    floor (0.793724060058594 × 65536)
    floor (52017.5)     		ty = 52017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36080 / 52017 ti = "16/36080/52017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36080/52017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36080 ÷ 216
    36080 ÷ 65536     		x = 0.550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52017 ÷ 216
    52017 ÷ 65536     		y = 0.793716430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550537109375 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.793716430664062 × 2 - 1) × π
    -0.587432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.84547476157292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31753402} λ = 0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84547476157292))-π/2
    2×atan(0.157950314346262)-π/2
    2×0.15665610213661-π/2
    0.31331220427322-1.57079632675     		φ = -1.25748412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25748412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.048533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36080 KachelY 52017 0.31753402 -1.25748412 18.193359 -72.048533
    Oben rechts KachelX + 1 36081 KachelY 52017 0.31762990 -1.25748412 18.198853 -72.048533
    Unten links KachelX 36080 KachelY + 1 52018 0.31753402 -1.25751367 18.193359 -72.050226
    Unten rechts KachelX + 1 36081 KachelY + 1 52018 0.31762990 -1.25751367 18.198853 -72.050226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25748412--1.25751367) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25748412--1.25751367) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31753402-0.31762990) × cos(-1.25748412) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.308211283043122 × 6371000     		do = 188.271318399684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31753402-0.31762990) × cos(-1.25751367) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.308183171463712 × 6371000     		du = 188.254146399797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25748412)-sin(-1.25751367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308211283043122-0.308183171463712)×R²
    abs(0.31762990-0.31753402)×2.81115794094067e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.81115794094067e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.81115794094067e-05×40589641000000     		ar = 35442.9162055563m²