Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36080 / 104947
↖ ↑ ↗
← S 72.805522°
W 80.903321°		 ← 90.29 m → S 72.805522°
W 80.900574°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
S 72.806334°
W 80.903321°		 ← 90.28 m →
8 151 m²		 S 72.806334°
W 80.900574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275272369384766 y=0.800685882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275272369384766 × 217)
    floor (0.275272369384766 × 131072)
    floor (36080.5)     		tx = 36080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800685882568359 × 217)
    floor (0.800685882568359 × 131072)
    floor (104947.5)     		ty = 104947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36080 / 104947 ti = "17/36080/104947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36080/104947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36080 ÷ 217
    36080 ÷ 131072     		x = 0.2752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104947 ÷ 217
    104947 ÷ 131072     		y = 0.800682067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41202932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800682067871094 × 2 - 1) × π
    -0.601364135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.88924115092603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41202932} λ = -1.41202932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88924115092603))-π/2
    2×atan(0.151186493047109)-π/2
    2×0.15005012954846-π/2
    0.300100259096921-1.57079632675     		φ = -1.27069607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41202932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.903321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27069607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.805522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36080 KachelY 104947 -1.41202932 -1.27069607 -80.903321 -72.805522
    Oben rechts KachelX + 1 36081 KachelY 104947 -1.41198138 -1.27069607 -80.900574 -72.805522
    Unten links KachelX 36080 KachelY + 1 104948 -1.41202932 -1.27071024 -80.903321 -72.806334
    Unten rechts KachelX + 1 36081 KachelY + 1 104948 -1.41198138 -1.27071024 -80.900574 -72.806334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27069607--1.27071024) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dl = 90.2770700002264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27069607--1.27071024) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dr = 90.2770700002264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41202932--1.41198138) × cos(-1.27069607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295615984150427 × 6371000     		do = 90.2887307149132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41202932--1.41198138) × cos(-1.27071024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295602447422594 × 6371000     		du = 90.2845962497976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27069607)-sin(-1.27071024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295615984150427-0.295602447422594)×R²
    abs(-1.41198138--1.41202932)×1.35367278332188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35367278332188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35367278332188e-05×40589641000000     		ar = 8150.81543944513m²