Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3608 / 2777
↖ ↑ ↗
← N 50.035974°
W 21.445312°		 ← 3 138.63 m → N 50.035974°
W 21.401367°		 →
↑
3 139.57 m
↓
↑
3 139.57 m
↓
N 50.007739°
W 21.445312°		 ← 3 140.47 m →
9 856 819 m²		 N 50.007739°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44049072265625 y=0.33905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44049072265625 × 213)
    floor (0.44049072265625 × 8192)
    floor (3608.5)     		tx = 3608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33905029296875 × 213)
    floor (0.33905029296875 × 8192)
    floor (2777.5)     		ty = 2777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3608 / 2777 ti = "13/3608/2777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3608/2777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3608 ÷ 213
    3608 ÷ 8192     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2777 ÷ 213
    2777 ÷ 8192     		y = 0.3389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3389892578125 × 2 - 1) × π
    0.322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01166032958167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01166032958167))-π/2
    2×atan(2.75016340408828)-π/2
    2×1.22204440589867-π/2
    2.44408881179733-1.57079632675     		φ = 0.87329249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87329249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.035974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3608 KachelY 2777 -0.37429131 0.87329249 -21.445312 50.035974
    Oben rechts KachelX + 1 3609 KachelY 2777 -0.37352432 0.87329249 -21.401367 50.035974
    Unten links KachelX 3608 KachelY + 1 2778 -0.37429131 0.87279970 -21.445312 50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 3609 KachelY + 1 2778 -0.37352432 0.87279970 -21.401367 50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87329249-0.87279970) × R
    0.000492790000000021 × 6371000     		dl = 3139.56509000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87329249-0.87279970) × R
    0.000492790000000021 × 6371000     		dr = 3139.56509000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37352432) × cos(0.87329249) × R
    0.000766989999999967 × 0.642306511290056 × 6371000     		do = 3138.62645754203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37352432) × cos(0.87279970) × R
    0.000766989999999967 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 3140.4716943744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87329249)-sin(0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642306511290056-0.642684131133747)×R²
    abs(-0.37352432--0.37429131)×0.00037761984369078×R²
    0.000766989999999967×0.00037761984369078×6371000²
    0.000766989999999967×0.00037761984369078×40589641000000     		ar = 9856818.87669193m²