Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36079 / 104948
↖ ↑ ↗
← S 72.806334°
W 80.906067°		 ← 90.27 m → S 72.806334°
W 80.903321°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
S 72.807146°
W 80.906067°		 ← 90.26 m →
8 149 m²		 S 72.807146°
W 80.903321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275264739990234 y=0.800693511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275264739990234 × 217)
    floor (0.275264739990234 × 131072)
    floor (36079.5)     		tx = 36079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800693511962891 × 217)
    floor (0.800693511962891 × 131072)
    floor (104948.5)     		ty = 104948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36079 / 104948 ti = "17/36079/104948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36079/104948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36079 ÷ 217
    36079 ÷ 131072     		x = 0.275260925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104948 ÷ 217
    104948 ÷ 131072     		y = 0.800689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275260925292969 × 2 - 1) × π
    -0.449478149414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41207725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.60137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88928908782565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41207725} λ = -1.41207725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88928908782565))-π/2
    2×atan(0.151179245809074)-π/2
    2×0.150043044253763-π/2
    0.300086088507527-1.57079632675     		φ = -1.27071024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41207725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.906067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27071024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.806334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36079 KachelY 104948 -1.41207725 -1.27071024 -80.906067 -72.806334
    Oben rechts KachelX + 1 36080 KachelY 104948 -1.41202932 -1.27071024 -80.903321 -72.806334
    Unten links KachelX 36079 KachelY + 1 104949 -1.41207725 -1.27072441 -80.906067 -72.807146
    Unten rechts KachelX + 1 36080 KachelY + 1 104949 -1.41202932 -1.27072441 -80.903321 -72.807146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27071024--1.27072441) × R
    1.41699999998135e-05 × 6371000     		dl = 90.2770699988118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27071024--1.27072441) × R
    1.41699999998135e-05 × 6371000     		dr = 90.2770699988118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41207725--1.41202932) × cos(-1.27071024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295602447422594 × 6371000     		do = 90.2657634179868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41207725--1.41202932) × cos(-1.27072441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295588910635407 × 6371000     		du = 90.2616297971718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27071024)-sin(-1.27072441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295602447422594-0.295588910635407)×R²
    abs(-1.41202932--1.41207725)×1.35367871866299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35367871866299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35367871866299e-05×40589641000000     		ar = 8148.74205698441m²