Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36076 / 104939
↖ ↑ ↗
← S 72.799025°
W 80.914306°		 ← 90.30 m → S 72.799025°
W 80.911560°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.799838°
W 80.914306°		 ← 90.30 m →
8 158 m²		 S 72.799838°
W 80.911560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275241851806641 y=0.800624847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275241851806641 × 217)
    floor (0.275241851806641 × 131072)
    floor (36076.5)     		tx = 36076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800624847412109 × 217)
    floor (0.800624847412109 × 131072)
    floor (104939.5)     		ty = 104939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36076 / 104939 ti = "17/36076/104939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36076/104939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36076 ÷ 217
    36076 ÷ 131072     		x = 0.275238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104939 ÷ 217
    104939 ÷ 131072     		y = 0.800621032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.44952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41222106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800621032714844 × 2 - 1) × π
    -0.601242065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88885765572907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41222106} λ = -1.41222106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88885765572907))-π/2
    2×atan(0.15124448345985)-π/2
    2×0.150106823588249-π/2
    0.300213647176498-1.57079632675     		φ = -1.27058268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41222106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.914306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27058268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.799025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36076 KachelY 104939 -1.41222106 -1.27058268 -80.914306 -72.799025
    Oben rechts KachelX + 1 36077 KachelY 104939 -1.41217313 -1.27058268 -80.911560 -72.799025
    Unten links KachelX 36076 KachelY + 1 104940 -1.41222106 -1.27059686 -80.914306 -72.799838
    Unten rechts KachelX + 1 36077 KachelY + 1 104940 -1.41217313 -1.27059686 -80.911560 -72.799838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27058268--1.27059686) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27058268--1.27059686) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41222106--1.41217313) × cos(-1.27058268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295724304494233 × 6371000     		do = 90.3029739407525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41222106--1.41217313) × cos(-1.27059686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295710758688678 × 6371000     		du = 90.2988375660702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27058268)-sin(-1.27059686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295724304494233-0.295710758688678)×R²
    abs(-1.41217313--1.41222106)×1.35458055552928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35458055552928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35458055552928e-05×40589641000000     		ar = 8157.85426052771m²