Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36073 / 47366
↖ ↑ ↗
← S 62.283256°
E 18.154907°		 ← 284.08 m → S 62.283256°
E 18.160400°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
S 62.285810°
E 18.154907°		 ← 284.05 m →
80 698 m²		 S 62.285810°
E 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550437927246094 y=0.722755432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550437927246094 × 216)
    floor (0.550437927246094 × 65536)
    floor (36073.5)     		tx = 36073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722755432128906 × 216)
    floor (0.722755432128906 × 65536)
    floor (47366.5)     		ty = 47366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36073 / 47366 ti = "16/36073/47366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36073/47366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36073 ÷ 216
    36073 ÷ 65536     		x = 0.550430297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47366 ÷ 216
    47366 ÷ 65536     		y = 0.722747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550430297851562 × 2 - 1) × π
    0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.44549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39956572130716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31686291} λ = 0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39956572130716))-π/2
    2×atan(0.246704079005977)-π/2
    2×0.241874222276271-π/2
    0.483748444552542-1.57079632675     		φ = -1.08704788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08704788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.283256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36073 KachelY 47366 0.31686291 -1.08704788 18.154907 -62.283256
    Oben rechts KachelX + 1 36074 KachelY 47366 0.31695878 -1.08704788 18.160400 -62.283256
    Unten links KachelX 36073 KachelY + 1 47367 0.31686291 -1.08709247 18.154907 -62.285810
    Unten rechts KachelX + 1 36074 KachelY + 1 47367 0.31695878 -1.08709247 18.160400 -62.285810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08704788--1.08709247) × R
    4.45899999999e-05 × 6371000     		dl = 284.082889999363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08704788--1.08709247) × R
    4.45899999999e-05 × 6371000     		dr = 284.082889999363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31686291-0.31695878) × cos(-1.08704788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465100776838754 × 6371000     		do = 284.077866310604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31686291-0.31695878) × cos(-1.08709247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465061302733739 × 6371000     		du = 284.053756010029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08704788)-sin(-1.08709247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465100776838754-0.465061302733739)×R²
    abs(0.31695878-0.31686291)×3.9474105015036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9474105015036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9474105015036e-05×40589641000000     		ar = 80698.2365975234m²