Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36072 / 47362
↖ ↑ ↗
← S 62.273035°
E 18.149414°		 ← 284.20 m → S 62.273035°
E 18.154907°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
S 62.275590°
E 18.149414°		 ← 284.18 m →
80 752 m²		 S 62.275590°
E 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550422668457031 y=0.722694396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550422668457031 × 216)
    floor (0.550422668457031 × 65536)
    floor (36072.5)     		tx = 36072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722694396972656 × 216)
    floor (0.722694396972656 × 65536)
    floor (47362.5)     		ty = 47362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36072 / 47362 ti = "16/36072/47362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36072/47362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36072 ÷ 216
    36072 ÷ 65536     		x = 0.5504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47362 ÷ 216
    47362 ÷ 65536     		y = 0.722686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5504150390625 × 2 - 1) × π
    0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.44537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3991822261102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31676703} λ = 0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3991822261102))-π/2
    2×atan(0.246798706978873)-π/2
    2×0.241963419372425-π/2
    0.48392683874485-1.57079632675     		φ = -1.08686949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08686949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.273035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36072 KachelY 47362 0.31676703 -1.08686949 18.149414 -62.273035
    Oben rechts KachelX + 1 36073 KachelY 47362 0.31686291 -1.08686949 18.154907 -62.273035
    Unten links KachelX 36072 KachelY + 1 47363 0.31676703 -1.08691409 18.149414 -62.275590
    Unten rechts KachelX + 1 36073 KachelY + 1 47363 0.31686291 -1.08691409 18.154907 -62.275590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08686949--1.08691409) × R
    4.46000000000613e-05 × 6371000     		dl = 284.14660000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08686949--1.08691409) × R
    4.46000000000613e-05 × 6371000     		dr = 284.14660000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31676703-0.31686291) × cos(-1.08686949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.465258690565822 × 6371000     		do = 284.203959714973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31676703-0.31686291) × cos(-1.08691409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.465219211308926 × 6371000     		du = 284.179843752468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08686949)-sin(-1.08691409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465258690565822-0.465219211308926)×R²
    abs(0.31686291-0.31676703)×3.94792568967905e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94792568967905e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94792568967905e-05×40589641000000     		ar = 80752.1626388596m²