Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36068 / 39300
↖ ↑ ↗
← S 33.742613°
E 18.127442°		 ← 507.90 m → S 33.742613°
E 18.132934°		 →
↑
507.90 m
↓
↑
507.90 m
↓
S 33.747180°
E 18.127442°		 ← 507.87 m →
257 951 m²		 S 33.747180°
E 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550361633300781 y=0.599678039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550361633300781 × 216)
    floor (0.550361633300781 × 65536)
    floor (36068.5)     		tx = 36068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599678039550781 × 216)
    floor (0.599678039550781 × 65536)
    floor (39300.5)     		ty = 39300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36068 / 39300 ti = "16/36068/39300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36068/39300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36068 ÷ 216
    36068 ÷ 65536     		x = 0.55035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39300 ÷ 216
    39300 ÷ 65536     		y = 0.59967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55035400390625 × 2 - 1) × π
    0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.626247656636414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31638354} λ = 0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626247656636414))-π/2
    2×atan(0.534594022478846)-π/2
    2×0.490938317809785-π/2
    0.98187663561957-1.57079632675     		φ = -0.58891969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58891969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.742613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36068 KachelY 39300 0.31638354 -0.58891969 18.127442 -33.742613
    Oben rechts KachelX + 1 36069 KachelY 39300 0.31647941 -0.58891969 18.132934 -33.742613
    Unten links KachelX 36068 KachelY + 1 39301 0.31638354 -0.58899941 18.127442 -33.747180
    Unten rechts KachelX + 1 36069 KachelY + 1 39301 0.31647941 -0.58899941 18.132934 -33.747180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58891969--0.58899941) × R
    7.97200000000053e-05 × 6371000     		dl = 507.896120000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58891969--0.58899941) × R
    7.97200000000053e-05 × 6371000     		dr = 507.896120000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31638354-0.31647941) × cos(-0.58891969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.831541236477121 × 6371000     		do = 507.895217490892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31638354-0.31647941) × cos(-0.58899941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.831496952322484 × 6371000     		du = 507.868169270835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58891969)-sin(-0.58899941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831541236477121-0.831496952322484)×R²
    abs(0.31647941-0.31638354)×4.42841546367534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42841546367534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42841546367534e-05×40589641000000     		ar = 257951.141623864m²