Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36065 / 39330
↖ ↑ ↗
← S 33.879537°
E 18.110962°		 ← 507.08 m → S 33.879537°
E 18.116455°		 →
↑
507.07 m
↓
↑
507.07 m
↓
S 33.884097°
E 18.110962°		 ← 507.06 m →
257 119 m²		 S 33.884097°
E 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550315856933594 y=0.600135803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550315856933594 × 216)
    floor (0.550315856933594 × 65536)
    floor (36065.5)     		tx = 36065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600135803222656 × 216)
    floor (0.600135803222656 × 65536)
    floor (39330.5)     		ty = 39330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36065 / 39330 ti = "16/36065/39330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36065/39330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36065 ÷ 216
    36065 ÷ 65536     		x = 0.550308227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39330 ÷ 216
    39330 ÷ 65536     		y = 0.600128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550308227539062 × 2 - 1) × π
    0.100616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31609592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.20025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.629123870613617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31609592} λ = 0.31609592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629123870613617))-π/2
    2×atan(0.533058624803868)-π/2
    2×0.489743428435965-π/2
    0.97948685687193-1.57079632675     		φ = -0.59130947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31609592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.110962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59130947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.879537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36065 KachelY 39330 0.31609592 -0.59130947 18.110962 -33.879537
    Oben rechts KachelX + 1 36066 KachelY 39330 0.31619179 -0.59130947 18.116455 -33.879537
    Unten links KachelX 36065 KachelY + 1 39331 0.31609592 -0.59138906 18.110962 -33.884097
    Unten rechts KachelX + 1 36066 KachelY + 1 39331 0.31619179 -0.59138906 18.116455 -33.884097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59130947--0.59138906) × R
    7.95900000000183e-05 × 6371000     		dl = 507.067890000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59130947--0.59138906) × R
    7.95900000000183e-05 × 6371000     		dr = 507.067890000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31609592-0.31619179) × cos(-0.59130947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830211428827953 × 6371000     		do = 507.082987242328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31609592-0.31619179) × cos(-0.59138906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830167058861426 × 6371000     		du = 507.055886609418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59130947)-sin(-0.59138906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830211428827953-0.830167058861426)×R²
    abs(0.31619179-0.31609592)×4.43699665266806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43699665266806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43699665266806e-05×40589641000000     		ar = 257118.629601412m²