Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36064 / 39329
↖ ↑ ↗
← S 33.874976°
E 18.105469°		 ← 507.16 m → S 33.874976°
E 18.110962°		 →
↑
507.13 m
↓
↑
507.13 m
↓
S 33.879537°
E 18.105469°		 ← 507.14 m →
257 192 m²		 S 33.879537°
E 18.110962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550300598144531 y=0.600120544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550300598144531 × 216)
    floor (0.550300598144531 × 65536)
    floor (36064.5)     		tx = 36064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600120544433594 × 216)
    floor (0.600120544433594 × 65536)
    floor (39329.5)     		ty = 39329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36064 / 39329 ti = "16/36064/39329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36064/39329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36064 ÷ 216
    36064 ÷ 65536     		x = 0.55029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39329 ÷ 216
    39329 ÷ 65536     		y = 0.600112915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.200225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.629027996814377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31600004} λ = 0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629027996814377))-π/2
    2×atan(0.533109733609404)-π/2
    2×0.489783227261361-π/2
    0.979566454522722-1.57079632675     		φ = -0.59122987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59122987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.874976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36064 KachelY 39329 0.31600004 -0.59122987 18.105469 -33.874976
    Oben rechts KachelX + 1 36065 KachelY 39329 0.31609592 -0.59122987 18.110962 -33.874976
    Unten links KachelX 36064 KachelY + 1 39330 0.31600004 -0.59130947 18.105469 -33.879537
    Unten rechts KachelX + 1 36065 KachelY + 1 39330 0.31609592 -0.59130947 18.110962 -33.879537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59122987--0.59130947) × R
    7.95999999999575e-05 × 6371000     		dl = 507.131599999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59122987--0.59130947) × R
    7.95999999999575e-05 × 6371000     		dr = 507.131599999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31600004-0.31609592) × cos(-0.59122987) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.830255799109274 × 6371000     		do = 507.162983664444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31600004-0.31609592) × cos(-0.59130947) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.830211428827953 × 6371000     		du = 507.135880012431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59122987)-sin(-0.59130947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830255799109274-0.830211428827953)×R²
    abs(0.31609592-0.31600004)×4.43702813213154e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43702813213154e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43702813213154e-05×40589641000000     		ar = 257191.502942848m²