Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36060 / 104964
↖ ↑ ↗
← S 72.819319°
W 80.958252°		 ← 90.20 m → S 72.819319°
W 80.955506°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
S 72.820131°
W 80.958252°		 ← 90.20 m →
8 137 m²		 S 72.820131°
W 80.955506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275119781494141 y=0.800815582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275119781494141 × 217)
    floor (0.275119781494141 × 131072)
    floor (36060.5)     		tx = 36060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800815582275391 × 217)
    floor (0.800815582275391 × 131072)
    floor (104964.5)     		ty = 104964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36060 / 104964 ti = "17/36060/104964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36060/104964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36060 ÷ 217
    36060 ÷ 131072     		x = 0.275115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104964 ÷ 217
    104964 ÷ 131072     		y = 0.800811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.44976806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41298805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.60162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89005607821957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41298805} λ = -1.41298805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89005607821957))-π/2
    2×atan(0.151063337235842)-π/2
    2×0.149929723656197-π/2
    0.299859447312394-1.57079632675     		φ = -1.27093688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41298805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.958252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27093688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.819319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36060 KachelY 104964 -1.41298805 -1.27093688 -80.958252 -72.819319
    Oben rechts KachelX + 1 36061 KachelY 104964 -1.41294012 -1.27093688 -80.955506 -72.819319
    Unten links KachelX 36060 KachelY + 1 104965 -1.41298805 -1.27095104 -80.958252 -72.820131
    Unten rechts KachelX + 1 36061 KachelY + 1 104965 -1.41294012 -1.27095104 -80.955506 -72.820131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27093688--1.27095104) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dl = 90.213359999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27093688--1.27095104) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dr = 90.213359999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41298805--1.41294012) × cos(-1.27093688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295385928137252 × 6371000     		do = 90.1996466494806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41298805--1.41294012) × cos(-1.27095104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295372399954933 × 6371000     		du = 90.1955156562653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27093688)-sin(-1.27095104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295385928137252-0.295372399954933)×R²
    abs(-1.41294012--1.41298805)×1.35281823192557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35281823192557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35281823192557e-05×40589641000000     		ar = 8137.02685957191m²