Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36059 / 105013
↖ ↑ ↗
← S 72.859029°
W 80.960999°		 ← 90.02 m → S 72.859029°
W 80.958252°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
S 72.859838°
W 80.960999°		 ← 90.01 m →
8 098 m²		 S 72.859838°
W 80.958252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275112152099609 y=0.801189422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275112152099609 × 217)
    floor (0.275112152099609 × 131072)
    floor (36059.5)     		tx = 36059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801189422607422 × 217)
    floor (0.801189422607422 × 131072)
    floor (105013.5)     		ty = 105013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36059 / 105013 ti = "17/36059/105013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36059/105013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36059 ÷ 217
    36059 ÷ 131072     		x = 0.275108337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105013 ÷ 217
    105013 ÷ 131072     		y = 0.801185607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275108337402344 × 2 - 1) × π
    -0.449783325195312 × 3.1415926535     		Λ = -1.41303599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801185607910156 × 2 - 1) × π
    -0.602371215820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.89240498630096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41303599} λ = -1.41303599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89240498630096))-π/2
    2×atan(0.150708919752208)-π/2
    2×0.149583195453094-π/2
    0.299166390906187-1.57079632675     		φ = -1.27162994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41303599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.960999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27162994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.859029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36059 KachelY 105013 -1.41303599 -1.27162994 -80.960999 -72.859029
    Oben rechts KachelX + 1 36060 KachelY 105013 -1.41298805 -1.27162994 -80.958252 -72.859029
    Unten links KachelX 36059 KachelY + 1 105014 -1.41303599 -1.27164406 -80.960999 -72.859838
    Unten rechts KachelX + 1 36060 KachelY + 1 105014 -1.41298805 -1.27164406 -80.958252 -72.859838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27162994--1.27164406) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27162994--1.27164406) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41303599--1.41298805) × cos(-1.27162994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294723722960811 × 6371000     		do = 90.0162111808018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41303599--1.41298805) × cos(-1.27164406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294710230106437 × 6371000     		du = 90.0120901157697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27162994)-sin(-1.27164406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294723722960811-0.294710230106437)×R²
    abs(-1.41298805--1.41303599)×1.34928543745749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34928543745749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34928543745749e-05×40589641000000     		ar = 8097.53977153417m²