Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36056 / 105015
↖ ↑ ↗
← S 72.860647°
W 80.969238°		 ← 90.01 m → S 72.860647°
W 80.966491°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 72.861457°
W 80.969238°		 ← 90 m →
8 103 m²		 S 72.861457°
W 80.966491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275089263916016 y=0.801204681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275089263916016 × 217)
    floor (0.275089263916016 × 131072)
    floor (36056.5)     		tx = 36056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801204681396484 × 217)
    floor (0.801204681396484 × 131072)
    floor (105015.5)     		ty = 105015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36056 / 105015 ti = "17/36056/105015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36056/105015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36056 ÷ 217
    36056 ÷ 131072     		x = 0.27508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105015 ÷ 217
    105015 ÷ 131072     		y = 0.801200866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41317980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801200866699219 × 2 - 1) × π
    -0.602401733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.8925008601002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41317980} λ = -1.41317980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8925008601002))-π/2
    2×atan(0.150694471408112)-π/2
    2×0.149569067958541-π/2
    0.299138135917083-1.57079632675     		φ = -1.27165819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41317980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27165819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.860647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36056 KachelY 105015 -1.41317980 -1.27165819 -80.969238 -72.860647
    Oben rechts KachelX + 1 36057 KachelY 105015 -1.41313186 -1.27165819 -80.966491 -72.860647
    Unten links KachelX 36056 KachelY + 1 105016 -1.41317980 -1.27167232 -80.969238 -72.861457
    Unten rechts KachelX + 1 36057 KachelY + 1 105016 -1.41313186 -1.27167232 -80.966491 -72.861457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27165819--1.27167232) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27165819--1.27167232) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41317980--1.41313186) × cos(-1.27165819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294696727637397 × 6371000     		do = 90.0079661141713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41317980--1.41313186) × cos(-1.27167232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294683225109518 × 6371000     		du = 90.0038420946021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27165819)-sin(-1.27167232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294696727637397-0.294683225109518)×R²
    abs(-1.41313186--1.41317980)×1.35025278786838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35025278786838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35025278786838e-05×40589641000000     		ar = 8102.5322007266m²