Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36052 / 104756
↖ ↑ ↗
← S 72.649762°
W 80.980225°		 ← 91.08 m → S 72.649762°
W 80.977478°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 72.650581°
W 80.980225°		 ← 91.08 m →
8 298 m²		 S 72.650581°
W 80.977478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275058746337891 y=0.799228668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275058746337891 × 217)
    floor (0.275058746337891 × 131072)
    floor (36052.5)     		tx = 36052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799228668212891 × 217)
    floor (0.799228668212891 × 131072)
    floor (104756.5)     		ty = 104756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36052 / 104756 ti = "17/36052/104756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36052/104756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36052 ÷ 217
    36052 ÷ 131072     		x = 0.275054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104756 ÷ 217
    104756 ÷ 131072     		y = 0.799224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.44989013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41337155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.59844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41337155} λ = -1.41337155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8800852030986))-π/2
    2×atan(0.152577105160911)-π/2
    2×0.151409386024619-π/2
    0.302818772049238-1.57079632675     		φ = -1.26797755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41337155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.980225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26797755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.649762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36052 KachelY 104756 -1.41337155 -1.26797755 -80.980225 -72.649762
    Oben rechts KachelX + 1 36053 KachelY 104756 -1.41332361 -1.26797755 -80.977478 -72.649762
    Unten links KachelX 36052 KachelY + 1 104757 -1.41337155 -1.26799185 -80.980225 -72.650581
    Unten rechts KachelX + 1 36053 KachelY + 1 104757 -1.41332361 -1.26799185 -80.977478 -72.650581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26797755--1.26799185) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dl = 91.1053000008515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26797755--1.26799185) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dr = 91.1053000008515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41337155--1.41332361) × cos(-1.26797755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298211909394648 × 6371000     		do = 91.0815931036135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41337155--1.41332361) × cos(-1.26799185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298198260018599 × 6371000     		du = 91.0774242328332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26797755)-sin(-1.26799185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298211909394648-0.298198260018599)×R²
    abs(-1.41332361--1.41337155)×1.36493760489742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36493760489742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36493760489742e-05×40589641000000     		ar = 8297.82596123713m²