Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36050 / 39318
↖ ↑ ↗
← S 33.824794°
E 18.028565°		 ← 507.41 m → S 33.824794°
E 18.034057°		 →
↑
507.39 m
↓
↑
507.39 m
↓
S 33.829357°
E 18.028565°		 ← 507.38 m →
257 445 m²		 S 33.829357°
E 18.034057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550086975097656 y=0.599952697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550086975097656 × 216)
    floor (0.550086975097656 × 65536)
    floor (36050.5)     		tx = 36050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599952697753906 × 216)
    floor (0.599952697753906 × 65536)
    floor (39318.5)     		ty = 39318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36050 / 39318 ti = "16/36050/39318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36050/39318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36050 ÷ 216
    36050 ÷ 65536     		x = 0.550079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39318 ÷ 216
    39318 ÷ 65536     		y = 0.599945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550079345703125 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31465781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.19989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.627973385022736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31465781} λ = 0.31465781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627973385022736))-π/2
    2×atan(0.533672253988884)-π/2
    2×0.49022115468176-π/2
    0.980442309363519-1.57079632675     		φ = -0.59035402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31465781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.028565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59035402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.824794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36050 KachelY 39318 0.31465781 -0.59035402 18.028565 -33.824794
    Oben rechts KachelX + 1 36051 KachelY 39318 0.31475368 -0.59035402 18.034057 -33.824794
    Unten links KachelX 36050 KachelY + 1 39319 0.31465781 -0.59043366 18.028565 -33.829357
    Unten rechts KachelX + 1 36051 KachelY + 1 39319 0.31475368 -0.59043366 18.034057 -33.829357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59035402--0.59043366) × R
    7.96399999999364e-05 × 6371000     		dl = 507.386439999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59035402--0.59043366) × R
    7.96399999999364e-05 × 6371000     		dr = 507.386439999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31465781-0.31475368) × cos(-0.59035402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830743664103982 × 6371000     		do = 507.408070039689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31465781-0.31475368) × cos(-0.59043366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830699329452765 × 6371000     		du = 507.380990976939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59035402)-sin(-0.59043366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830743664103982-0.830699329452765)×R²
    abs(0.31475368-0.31465781)×4.43346512174481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43346512174481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43346512174481e-05×40589641000000     		ar = 257445.104645933m²