Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36048 / 104976
↖ ↑ ↗
← S 72.829052°
W 80.991211°		 ← 90.17 m → S 72.829052°
W 80.988464°		 →
↑
90.15 m
↓
↑
90.15 m
↓
S 72.829863°
W 80.991211°		 ← 90.16 m →
8 129 m²		 S 72.829863°
W 80.988464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275028228759766 y=0.800907135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275028228759766 × 217)
    floor (0.275028228759766 × 131072)
    floor (36048.5)     		tx = 36048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800907135009766 × 217)
    floor (0.800907135009766 × 131072)
    floor (104976.5)     		ty = 104976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36048 / 104976 ti = "17/36048/104976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36048/104976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36048 ÷ 217
    36048 ÷ 131072     		x = 0.2750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104976 ÷ 217
    104976 ÷ 131072     		y = 0.8009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41356330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41356330} λ = -1.41356330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89063132101501))-π/2
    2×atan(0.150976464128402)-π/2
    2×0.149844787684398-π/2
    0.299689575368795-1.57079632675     		φ = -1.27110675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41356330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.991211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27110675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.829052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36048 KachelY 104976 -1.41356330 -1.27110675 -80.991211 -72.829052
    Oben rechts KachelX + 1 36049 KachelY 104976 -1.41351536 -1.27110675 -80.988464 -72.829052
    Unten links KachelX 36048 KachelY + 1 104977 -1.41356330 -1.27112090 -80.991211 -72.829863
    Unten rechts KachelX + 1 36049 KachelY + 1 104977 -1.41351536 -1.27112090 -80.988464 -72.829863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27110675--1.27112090) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dl = 90.1496500010008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27110675--1.27112090) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dr = 90.1496500010008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41356330--1.41351536) × cos(-1.27110675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295223633812653 × 6371000     		do = 90.1688968226595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41356330--1.41351536) × cos(-1.27112090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29521011447436 × 6371000     		du = 90.1647676687568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27110675)-sin(-1.27112090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295223633812653-0.29521011447436)×R²
    abs(-1.41351536--1.41356330)×1.35193382937437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35193382937437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35193382937437e-05×40589641000000     		ar = 8128.50836874751m²