Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36047 / 47790
↖ ↑ ↗
← S 63.347202°
E 18.012085°		 ← 273.99 m → S 63.347202°
E 18.017578°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
S 63.349665°
E 18.012085°		 ← 273.97 m →
75 057 m²		 S 63.349665°
E 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550041198730469 y=0.729225158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550041198730469 × 216)
    floor (0.550041198730469 × 65536)
    floor (36047.5)     		tx = 36047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729225158691406 × 216)
    floor (0.729225158691406 × 65536)
    floor (47790.5)     		ty = 47790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36047 / 47790 ti = "16/36047/47790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36047/47790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36047 ÷ 216
    36047 ÷ 65536     		x = 0.550033569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47790 ÷ 216
    47790 ÷ 65536     		y = 0.729217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550033569335938 × 2 - 1) × π
    0.100067138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31437019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.45843505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44021621218497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31437019} λ = 0.31437019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44021621218497))-π/2
    2×atan(0.236876537551254)-π/2
    2×0.232589544978721-π/2
    0.465179089957441-1.57079632675     		φ = -1.10561724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31437019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.012085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10561724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.347202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36047 KachelY 47790 0.31437019 -1.10561724 18.012085 -63.347202
    Oben rechts KachelX + 1 36048 KachelY 47790 0.31446606 -1.10561724 18.017578 -63.347202
    Unten links KachelX 36047 KachelY + 1 47791 0.31437019 -1.10566024 18.012085 -63.349665
    Unten rechts KachelX + 1 36048 KachelY + 1 47791 0.31446606 -1.10566024 18.017578 -63.349665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10561724--1.10566024) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10561724--1.10566024) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31437019-0.31446606) × cos(-1.10561724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448582865893247 × 6371000     		do = 273.988928319139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31437019-0.31446606) × cos(-1.10566024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448544434605023 × 6371000     		du = 273.965454958307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10561724)-sin(-1.10566024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448582865893247-0.448544434605023)×R²
    abs(0.31446606-0.31437019)×3.84312882239501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84312882239501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84312882239501e-05×40589641000000     		ar = 75056.8735927542m²