Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36047 / 105045
↖ ↑ ↗
← S 72.884913°
W 80.993957°		 ← 89.87 m → S 72.884913°
W 80.991211°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 72.885721°
W 80.993957°		 ← 89.86 m →
8 073 m²		 S 72.885721°
W 80.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275020599365234 y=0.801433563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275020599365234 × 217)
    floor (0.275020599365234 × 131072)
    floor (36047.5)     		tx = 36047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801433563232422 × 217)
    floor (0.801433563232422 × 131072)
    floor (105045.5)     		ty = 105045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36047 / 105045 ti = "17/36047/105045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36047/105045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36047 ÷ 217
    36047 ÷ 131072     		x = 0.275016784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105045 ÷ 217
    105045 ÷ 131072     		y = 0.801429748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275016784667969 × 2 - 1) × π
    -0.449966430664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41361123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801429748535156 × 2 - 1) × π
    -0.602859497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.8939389670888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41361123} λ = -1.41361123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8939389670888))-π/2
    2×atan(0.150477912390478)-π/2
    2×0.149357310789823-π/2
    0.298714621579646-1.57079632675     		φ = -1.27208171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41361123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.993957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27208171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.884913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36047 KachelY 105045 -1.41361123 -1.27208171 -80.993957 -72.884913
    Oben rechts KachelX + 1 36048 KachelY 105045 -1.41356330 -1.27208171 -80.991211 -72.884913
    Unten links KachelX 36047 KachelY + 1 105046 -1.41361123 -1.27209581 -80.993957 -72.885721
    Unten rechts KachelX + 1 36048 KachelY + 1 105046 -1.41356330 -1.27209581 -80.991211 -72.885721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27208171--1.27209581) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27208171--1.27209581) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41361123--1.41356330) × cos(-1.27208171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294291989390456 × 6371000     		do = 89.8655992930631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41361123--1.41356330) × cos(-1.27209581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294278513771855 × 6371000     		du = 89.8614843508117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27208171)-sin(-1.27209581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294291989390456-0.294278513771855)×R²
    abs(-1.41356330--1.41361123)×1.34756186006557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34756186006557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34756186006557e-05×40589641000000     		ar = 8072.54081176172m²