Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36046 / 37798
↖ ↑ ↗
← S 26.617997°
E 18.006592°		 ← 546.11 m → S 26.617997°
E 18.012085°		 →
↑
546.06 m
↓
↑
546.06 m
↓
S 26.622907°
E 18.006592°		 ← 546.09 m →
298 201 m²		 S 26.622907°
E 18.012085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550025939941406 y=0.576759338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550025939941406 × 216)
    floor (0.550025939941406 × 65536)
    floor (36046.5)     		tx = 36046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576759338378906 × 216)
    floor (0.576759338378906 × 65536)
    floor (37798.5)     		ty = 37798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36046 / 37798 ti = "16/36046/37798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36046/37798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36046 ÷ 216
    36046 ÷ 65536     		x = 0.550018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37798 ÷ 216
    37798 ÷ 65536     		y = 0.576751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550018310546875 × 2 - 1) × π
    0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.15350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.482245210177765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31427431} λ = 0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482245210177765))-π/2
    2×atan(0.617395651504314)-π/2
    2×0.553112321860612-π/2
    1.10622464372122-1.57079632675     		φ = -0.46457168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46457168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.617997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36046 KachelY 37798 0.31427431 -0.46457168 18.006592 -26.617997
    Oben rechts KachelX + 1 36047 KachelY 37798 0.31437019 -0.46457168 18.012085 -26.617997
    Unten links KachelX 36046 KachelY + 1 37799 0.31427431 -0.46465739 18.006592 -26.622907
    Unten rechts KachelX + 1 36047 KachelY + 1 37799 0.31437019 -0.46465739 18.012085 -26.622907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46457168--0.46465739) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dl = 546.058410000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46457168--0.46465739) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dr = 546.058410000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31427431-0.31437019) × cos(-0.46457168) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894013552065796 × 6371000     		do = 546.109501419407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31427431-0.31437019) × cos(-0.46465739) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893975147280611 × 6371000     		du = 546.086041799537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46457168)-sin(-0.46465739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894013552065796-0.893975147280611)×R²
    abs(0.31437019-0.31427431)×3.84047851853531e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84047851853531e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84047851853531e-05×40589641000000     		ar = 298201.281052329m²