Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36046 / 104778
↖ ↑ ↗
← S 72.667772°
W 80.996704°		 ← 90.99 m → S 72.667772°
W 80.993957°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
S 72.668591°
W 80.996704°		 ← 90.99 m →
8 278 m²		 S 72.668591°
W 80.993957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275012969970703 y=0.799396514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275012969970703 × 217)
    floor (0.275012969970703 × 131072)
    floor (36046.5)     		tx = 36046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799396514892578 × 217)
    floor (0.799396514892578 × 131072)
    floor (104778.5)     		ty = 104778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36046 / 104778 ti = "17/36046/104778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36046/104778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36046 ÷ 217
    36046 ÷ 131072     		x = 0.275009155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104778 ÷ 217
    104778 ÷ 131072     		y = 0.799392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.449981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41365917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799392700195312 × 2 - 1) × π
    -0.598785400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88113981489024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41365917} λ = -1.41365917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88113981489024))-π/2
    2×atan(0.152416280365442)-π/2
    2×0.151252216250482-π/2
    0.302504432500963-1.57079632675     		φ = -1.26829189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41365917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.996704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26829189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.667772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36046 KachelY 104778 -1.41365917 -1.26829189 -80.996704 -72.667772
    Oben rechts KachelX + 1 36047 KachelY 104778 -1.41361123 -1.26829189 -80.993957 -72.667772
    Unten links KachelX 36046 KachelY + 1 104779 -1.41365917 -1.26830617 -80.996704 -72.668591
    Unten rechts KachelX + 1 36047 KachelY + 1 104779 -1.41361123 -1.26830617 -80.993957 -72.668591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26829189--1.26830617) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26829189--1.26830617) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41365917--1.41361123) × cos(-1.26829189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297911857234113 × 6371000     		do = 90.9899494504436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41365917--1.41361123) × cos(-1.26830617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297898225610241 × 6371000     		du = 90.9857860016351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26829189)-sin(-1.26830617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297911857234113-0.297898225610241)×R²
    abs(-1.41361123--1.41365917)×1.36316238720791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36316238720791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36316238720791e-05×40589641000000     		ar = 8277.8833114522m²