Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36045 / 104956
↖ ↑ ↗
← S 72.812828°
W 80.999451°		 ← 90.25 m → S 72.812828°
W 80.996704°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
S 72.813639°
W 80.999451°		 ← 90.25 m →
8 142 m²		 S 72.813639°
W 80.996704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275005340576172 y=0.800754547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275005340576172 × 217)
    floor (0.275005340576172 × 131072)
    floor (36045.5)     		tx = 36045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800754547119141 × 217)
    floor (0.800754547119141 × 131072)
    floor (104956.5)     		ty = 104956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36045 / 104956 ti = "17/36045/104956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36045/104956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36045 ÷ 217
    36045 ÷ 131072     		x = 0.275001525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104956 ÷ 217
    104956 ÷ 131072     		y = 0.800750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275001525878906 × 2 - 1) × π
    -0.449996948242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41370711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.60150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88967258302261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41370711} λ = -1.41370711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88967258302261))-π/2
    2×atan(0.151121280409863)-π/2
    2×0.149986373575662-π/2
    0.299972747151324-1.57079632675     		φ = -1.27082358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41370711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.999451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27082358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.812828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36045 KachelY 104956 -1.41370711 -1.27082358 -80.999451 -72.812828
    Oben rechts KachelX + 1 36046 KachelY 104956 -1.41365917 -1.27082358 -80.996704 -72.812828
    Unten links KachelX 36045 KachelY + 1 104957 -1.41370711 -1.27083774 -80.999451 -72.813639
    Unten rechts KachelX + 1 36046 KachelY + 1 104957 -1.41365917 -1.27083774 -80.996704 -72.813639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27082358--1.27083774) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dl = 90.213359999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27082358--1.27083774) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dr = 90.213359999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41370711--1.41365917) × cos(-1.27082358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295494170570315 × 6371000     		do = 90.2515257120655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41370711--1.41365917) × cos(-1.27083774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295480642861968 × 6371000     		du = 90.247394001733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27082358)-sin(-1.27083774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295494170570315-0.295480642861968)×R²
    abs(-1.41365917--1.41370711)×1.35277083473384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35277083473384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35277083473384e-05×40589641000000     		ar = 8141.70701192891m²