Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36045 / 104955
↖ ↑ ↗
← S 72.812016°
W 80.999451°		 ← 90.26 m → S 72.812016°
W 80.996704°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
S 72.812828°
W 80.999451°		 ← 90.25 m →
8 148 m²		 S 72.812828°
W 80.996704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275005340576172 y=0.800746917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275005340576172 × 217)
    floor (0.275005340576172 × 131072)
    floor (36045.5)     		tx = 36045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800746917724609 × 217)
    floor (0.800746917724609 × 131072)
    floor (104955.5)     		ty = 104955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36045 / 104955 ti = "17/36045/104955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36045/104955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36045 ÷ 217
    36045 ÷ 131072     		x = 0.275001525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104955 ÷ 217
    104955 ÷ 131072     		y = 0.800743103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275001525878906 × 2 - 1) × π
    -0.449996948242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41370711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800743103027344 × 2 - 1) × π
    -0.601486206054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88962464612299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41370711} λ = -1.41370711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88962464612299))-π/2
    2×atan(0.151128524869149)-π/2
    2×0.149993456275046-π/2
    0.299986912550092-1.57079632675     		φ = -1.27080941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41370711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.999451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27080941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.812016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36045 KachelY 104955 -1.41370711 -1.27080941 -80.999451 -72.812016
    Oben rechts KachelX + 1 36046 KachelY 104955 -1.41365917 -1.27080941 -80.996704 -72.812016
    Unten links KachelX 36045 KachelY + 1 104956 -1.41370711 -1.27082358 -80.999451 -72.812828
    Unten rechts KachelX + 1 36046 KachelY + 1 104956 -1.41365917 -1.27082358 -80.996704 -72.812828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27080941--1.27082358) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dl = 90.2770700002264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27080941--1.27082358) × R
    1.41700000000355e-05 × 6371000     		dr = 90.2770700002264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41370711--1.41365917) × cos(-1.27080941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295507707772818 × 6371000     		do = 90.2556603221575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41370711--1.41365917) × cos(-1.27082358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295494170570315 × 6371000     		du = 90.2515257120655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27080941)-sin(-1.27082358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295507707772818-0.295494170570315)×R²
    abs(-1.41365917--1.41370711)×1.35372025029112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35372025029112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35372025029112e-05×40589641000000     		ar = 8147.82993482011m²