Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36044 / 37743
↖ ↑ ↗
← S 26.347575°
E 17.995606°		 ← 547.34 m → S 26.347575°
E 18.001099°		 →
↑
547.33 m
↓
↑
547.33 m
↓
S 26.352498°
E 17.995606°		 ← 547.31 m →
299 570 m²		 S 26.352498°
E 18.001099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549995422363281 y=0.575920104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549995422363281 × 216)
    floor (0.549995422363281 × 65536)
    floor (36044.5)     		tx = 36044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575920104980469 × 216)
    floor (0.575920104980469 × 65536)
    floor (37743.5)     		ty = 37743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36044 / 37743 ti = "16/36044/37743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36044/37743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36044 ÷ 216
    36044 ÷ 65536     		x = 0.54998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37743 ÷ 216
    37743 ÷ 65536     		y = 0.575912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54998779296875 × 2 - 1) × π
    0.0999755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31408257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575912475585938 × 2 - 1) × π
    -0.151824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.476972151219559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31408257} λ = 0.31408257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476972151219559))-π/2
    2×atan(0.620659813671641)-π/2
    2×0.555472192743896-π/2
    1.11094438548779-1.57079632675     		φ = -0.45985194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31408257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.995606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45985194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.347575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36044 KachelY 37743 0.31408257 -0.45985194 17.995606 -26.347575
    Oben rechts KachelX + 1 36045 KachelY 37743 0.31417844 -0.45985194 18.001099 -26.347575
    Unten links KachelX 36044 KachelY + 1 37744 0.31408257 -0.45993785 17.995606 -26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 36045 KachelY + 1 37744 0.31417844 -0.45993785 18.001099 -26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45985194--0.45993785) × R
    8.59099999999668e-05 × 6371000     		dl = 547.332609999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45985194--0.45993785) × R
    8.59099999999668e-05 × 6371000     		dr = 547.332609999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31408257-0.31417844) × cos(-0.45985194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		do = 547.338048431993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31408257-0.31417844) × cos(-0.45993785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 547.314758183835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45985194)-sin(-0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896118218660477-0.896080087169799)×R²
    abs(0.31417844-0.31408257)×3.8131490677773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8131490677773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8131490677773e-05×40589641000000     		ar = 299569.589028579m²