Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36044 / 105348
↖ ↑ ↗
← S 73.128134°
W 81.002197°		 ← 88.63 m → S 73.128134°
W 80.999451°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
S 73.128931°
W 81.002197°		 ← 88.62 m →
7 854 m²		 S 73.128931°
W 80.999451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274997711181641 y=0.803745269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274997711181641 × 217)
    floor (0.274997711181641 × 131072)
    floor (36044.5)     		tx = 36044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803745269775391 × 217)
    floor (0.803745269775391 × 131072)
    floor (105348.5)     		ty = 105348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36044 / 105348 ti = "17/36044/105348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36044/105348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36044 ÷ 217
    36044 ÷ 131072     		x = 0.274993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105348 ÷ 217
    105348 ÷ 131072     		y = 0.803741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41375504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.60748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90846384767368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41375504} λ = -1.41375504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90846384767368))-π/2
    2×atan(0.148308035432693)-π/2
    2×0.147234805224555-π/2
    0.29446961044911-1.57079632675     		φ = -1.27632672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41375504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.002197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27632672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.128134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36044 KachelY 105348 -1.41375504 -1.27632672 -81.002197 -73.128134
    Oben rechts KachelX + 1 36045 KachelY 105348 -1.41370711 -1.27632672 -80.999451 -73.128134
    Unten links KachelX 36044 KachelY + 1 105349 -1.41375504 -1.27634063 -81.002197 -73.128931
    Unten rechts KachelX + 1 36045 KachelY + 1 105349 -1.41370711 -1.27634063 -80.999451 -73.128931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27632672--1.27634063) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27632672--1.27634063) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41375504--1.41370711) × cos(-1.27632672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290232327897498 × 6371000     		do = 88.6259328184599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41375504--1.41370711) × cos(-1.27634063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290219016608481 × 6371000     		du = 88.6218680562237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27632672)-sin(-1.27634063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290232327897498-0.290219016608481)×R²
    abs(-1.41370711--1.41375504)×1.33112890169929e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33112890169929e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33112890169929e-05×40589641000000     		ar = 7853.90411750076m²