Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36043 / 37738
↖ ↑ ↗
← S 26.322960°
E 17.990112°		 ← 547.51 m → S 26.322960°
E 17.995606°		 →
↑
547.46 m
↓
↑
547.46 m
↓
S 26.327883°
E 17.990112°		 ← 547.49 m →
299 734 m²		 S 26.327883°
E 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549980163574219 y=0.575843811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549980163574219 × 216)
    floor (0.549980163574219 × 65536)
    floor (36043.5)     		tx = 36043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575843811035156 × 216)
    floor (0.575843811035156 × 65536)
    floor (37738.5)     		ty = 37738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36043 / 37738 ti = "16/36043/37738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36043/37738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36043 ÷ 216
    36043 ÷ 65536     		x = 0.549972534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37738 ÷ 216
    37738 ÷ 65536     		y = 0.575836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549972534179688 × 2 - 1) × π
    0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.15167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.476492782223358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31398669} λ = 0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476492782223358))-π/2
    2×atan(0.620957410067047)-π/2
    2×0.555687001232217-π/2
    1.11137400246443-1.57079632675     		φ = -0.45942232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45942232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.322960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36043 KachelY 37738 0.31398669 -0.45942232 17.990112 -26.322960
    Oben rechts KachelX + 1 36044 KachelY 37738 0.31408257 -0.45942232 17.995606 -26.322960
    Unten links KachelX 36043 KachelY + 1 37739 0.31398669 -0.45950825 17.990112 -26.327883
    Unten rechts KachelX + 1 36044 KachelY + 1 37739 0.31408257 -0.45950825 17.995606 -26.327883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45942232--0.45950825) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dl = 547.460030000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45942232--0.45950825) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dr = 547.460030000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31398669-0.31408257) × cos(-0.45942232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896308807940984 × 6371000     		do = 547.511561867744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31398669-0.31408257) × cos(-0.45950825) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89627070065749 × 6371000     		du = 547.488283977223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45942232)-sin(-0.45950825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896308807940984-0.89627070065749)×R²
    abs(0.31408257-0.31398669)×3.8107283494182e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8107283494182e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8107283494182e-05×40589641000000     		ar = 299734.324412532m²