Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36043 / 105347
↖ ↑ ↗
← S 73.127337°
W 81.004944°		 ← 88.65 m → S 73.127337°
W 81.002197°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
S 73.128134°
W 81.004944°		 ← 88.64 m →
7 862 m²		 S 73.128134°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274990081787109 y=0.803737640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274990081787109 × 217)
    floor (0.274990081787109 × 131072)
    floor (36043.5)     		tx = 36043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803737640380859 × 217)
    floor (0.803737640380859 × 131072)
    floor (105347.5)     		ty = 105347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36043 / 105347 ti = "17/36043/105347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36043/105347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36043 ÷ 217
    36043 ÷ 131072     		x = 0.274986267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105347 ÷ 217
    105347 ÷ 131072     		y = 0.803733825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274986267089844 × 2 - 1) × π
    -0.450027465820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.41380298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803733825683594 × 2 - 1) × π
    -0.607467651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.90841591077406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41380298} λ = -1.41380298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90841591077406))-π/2
    2×atan(0.148315145030505)-π/2
    2×0.147241761803183-π/2
    0.294483523606366-1.57079632675     		φ = -1.27631280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41380298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.004944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27631280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.127337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36043 KachelY 105347 -1.41380298 -1.27631280 -81.004944 -73.127337
    Oben rechts KachelX + 1 36044 KachelY 105347 -1.41375504 -1.27631280 -81.002197 -73.127337
    Unten links KachelX 36043 KachelY + 1 105348 -1.41380298 -1.27632672 -81.004944 -73.128134
    Unten rechts KachelX + 1 36044 KachelY + 1 105348 -1.41375504 -1.27632672 -81.002197 -73.128134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27631280--1.27632672) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27631280--1.27632672) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41380298--1.41375504) × cos(-1.27631280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29024564869988 × 6371000     		do = 88.6484920358828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41380298--1.41375504) × cos(-1.27632672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290232327897498 × 6371000     		du = 88.6444235199578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27631280)-sin(-1.27632672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29024564869988-0.290232327897498)×R²
    abs(-1.41375504--1.41380298)×1.33208023821996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33208023821996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33208023821996e-05×40589641000000     		ar = 7861.55082855544m²