Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36043 / 105039
↖ ↑ ↗
← S 72.880063°
W 81.004944°		 ← 89.91 m → S 72.880063°
W 81.002197°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
S 72.880871°
W 81.004944°		 ← 89.90 m →
8 082 m²		 S 72.880871°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274990081787109 y=0.801387786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274990081787109 × 217)
    floor (0.274990081787109 × 131072)
    floor (36043.5)     		tx = 36043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801387786865234 × 217)
    floor (0.801387786865234 × 131072)
    floor (105039.5)     		ty = 105039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36043 / 105039 ti = "17/36043/105039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36043/105039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36043 ÷ 217
    36043 ÷ 131072     		x = 0.274986267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105039 ÷ 217
    105039 ÷ 131072     		y = 0.801383972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274986267089844 × 2 - 1) × π
    -0.450027465820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.41380298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801383972167969 × 2 - 1) × π
    -0.602767944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.89365134569108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41380298} λ = -1.41380298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89365134569108))-π/2
    2×atan(0.150521199282785)-π/2
    2×0.149399638944498-π/2
    0.298799277888996-1.57079632675     		φ = -1.27199705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41380298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.004944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27199705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.880063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36043 KachelY 105039 -1.41380298 -1.27199705 -81.004944 -72.880063
    Oben rechts KachelX + 1 36044 KachelY 105039 -1.41375504 -1.27199705 -81.002197 -72.880063
    Unten links KachelX 36043 KachelY + 1 105040 -1.41380298 -1.27201116 -81.004944 -72.880871
    Unten rechts KachelX + 1 36044 KachelY + 1 105040 -1.41375504 -1.27201116 -81.002197 -72.880871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27199705--1.27201116) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27199705--1.27201116) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41380298--1.41375504) × cos(-1.27199705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294372899214733 × 6371000     		do = 89.9090605785462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41380298--1.41375504) × cos(-1.27201116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294359414390522 × 6371000     		du = 89.904941966133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27199705)-sin(-1.27201116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294372899214733-0.294359414390522)×R²
    abs(-1.41375504--1.41380298)×1.34848242100971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34848242100971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34848242100971e-05×40589641000000     		ar = 8082.17279714838m²