Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36042 / 105040
↖ ↑ ↗
← S 72.880871°
W 81.007691°		 ← 89.90 m → S 72.880871°
W 81.004944°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
S 72.881679°
W 81.007691°		 ← 89.90 m →
8 082 m²		 S 72.881679°
W 81.004944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274982452392578 y=0.801395416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274982452392578 × 217)
    floor (0.274982452392578 × 131072)
    floor (36042.5)     		tx = 36042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801395416259766 × 217)
    floor (0.801395416259766 × 131072)
    floor (105040.5)     		ty = 105040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36042 / 105040 ti = "17/36042/105040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36042/105040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36042 ÷ 217
    36042 ÷ 131072     		x = 0.274978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105040 ÷ 217
    105040 ÷ 131072     		y = 0.8013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.450042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41385092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8936992825907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41385092} λ = -1.41385092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8936992825907))-π/2
    2×atan(0.150513983936107)-π/2
    2×0.14939258344403-π/2
    0.298785166888061-1.57079632675     		φ = -1.27201116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41385092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.007691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27201116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.880871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36042 KachelY 105040 -1.41385092 -1.27201116 -81.007691 -72.880871
    Oben rechts KachelX + 1 36043 KachelY 105040 -1.41380298 -1.27201116 -81.004944 -72.880871
    Unten links KachelX 36042 KachelY + 1 105041 -1.41385092 -1.27202527 -81.007691 -72.881679
    Unten rechts KachelX + 1 36043 KachelY + 1 105041 -1.41380298 -1.27202527 -81.004944 -72.881679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27201116--1.27202527) × R
    1.41100000001781e-05 × 6371000     		dl = 89.894810001135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27201116--1.27202527) × R
    1.41100000001781e-05 × 6371000     		dr = 89.894810001135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41385092--1.41380298) × cos(-1.27201116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294359414390522 × 6371000     		do = 89.904941966133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41385092--1.41380298) × cos(-1.27202527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294345929507707 × 6371000     		du = 89.9008233358204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27201116)-sin(-1.27202527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294359414390522-0.294345929507707)×R²
    abs(-1.41380298--1.41385092)×1.34848828149958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34848828149958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34848828149958e-05×40589641000000     		ar = 8081.8025547571m²